Номер 6, страница 314 - гдз по физике 10 класс учебник Мякишев, Синяков

Упражнение 10. Параграф 5.7. Примеры решения задач. Глава 5. Закон сохранения импульса. Законы сохранения в механике - номер 6, страница 314.

Условие.

6. Призма массой $\text{M}$ с углом наклона $\alpha$ находится на гладком льду. На призме у её основания стоит собака массой $\text{m}$. С какой скоростью будет двигаться призма, если собака побежит вверх по призме со скоростью $\text{v}$ относительно неё?

Решение.

Дано:

Масса призмы: $M$

Угол наклона призмы: $\alpha$

Масса собаки: $m$

Скорость собаки относительно призмы: $v$

Все величины считаются заданными в системе СИ.

Найти:

Скорость призмы относительно льда: $U$

Решение:

Рассмотрим замкнутую систему, состоящую из призмы и собаки. Так как призма находится на гладкой горизонтальной поверхности (лёд), то трение между призмой и льдом отсутствует. Внешние силы, действующие на систему (силы тяжести и сила нормальной реакции опоры), являются вертикальными. Следовательно, в проекции на горизонтальную ось сумма внешних сил равна нулю.

Согласно закону сохранения импульса, суммарный импульс системы в проекции на горизонтальную ось (ось X) сохраняется. В начальный момент времени и призма, и собака покоятся, поэтому начальный импульс системы в проекции на ось X равен нулю.

$P_{x \text{ нач}} = 0$

Пусть $U$ – искомая скорость призмы относительно льда. Направим ось X горизонтально. Предположим, что призма начнёт двигаться влево, когда собака побежит вверх по склону (направленному вправо и вверх). Тогда скорость призмы можно записать как $\vec{U}$, а её проекция на ось X будет равна $-U$ (где $U$ – модуль скорости). Импульс призмы в проекции на ось X:

$P_{\text{призмы}, x} = -M U$

Собака бежит вверх по наклонной плоскости призмы со скоростью $v$ относительно призмы. Вектор этой скорости $\vec{v}$ направлен под углом $\alpha$ к горизонту.Абсолютная скорость собаки (относительно льда) $\vec{v}_{\text{собаки}}$ равна векторной сумме её относительной скорости $\vec{v}$ и скорости призмы $\vec{U}$:

$\vec{v}_{\text{собаки}} = \vec{v} + \vec{U}$

Проекция абсолютной скорости собаки на ось X будет суммой проекций скоростей $\vec{v}$ и $\vec{U}$. Проекция относительной скорости собаки на ось X будет $v \cos \alpha$. Проекция скорости призмы $\vec{U}$ на ось X равна $-U$.

$v_{\text{собаки}, x} = v \cos \alpha - U$

Тогда импульс собаки в проекции на ось X равен:

$P_{\text{собаки}, x} = m \cdot v_{\text{собаки}, x} = m(v \cos \alpha - U)$

Суммарный импульс системы в проекции на ось X в конечный момент времени равен сумме импульсов призмы и собаки:

$P_{x \text{ кон}} = P_{\text{призмы}, x} + P_{\text{собаки}, x} = -M U + m(v \cos \alpha - U)$

Применяем закон сохранения импульса $P_{x \text{ нач}} = P_{x \text{ кон}}$:

$0 = -M U + m(v \cos \alpha - U)$

Раскроем скобки и выразим $U$:

$0 = -M U + m v \cos \alpha - m U$

$M U + m U = m v \cos \alpha$

$U(M+m) = m v \cos \alpha$

$U = \frac{m v \cos \alpha}{M+m}$

Поскольку массы $m$, $M$, скорость $v$ и косинус угла $\alpha$ (для $\alpha$ от 0 до 90 градусов) являются положительными величинами, то искомая скорость $U$ также будет положительной. Это подтверждает наше предположение о том, что призма будет двигаться в сторону, противоположную горизонтальной составляющей скорости собаки.

Ответ: Скорость призмы будет равна $U = \frac{m v \cos \alpha}{M+m}$.