Номер 8, страница 314 - гдз по физике 10 класс учебник Мякишев, Синяков

Упражнение 10. Параграф 5.7. Примеры решения задач. Глава 5. Закон сохранения импульса. Законы сохранения в механике - номер 8, страница 314.

Условие.

8. Две ракеты массой $\text{M}$ каждая летят в одном направлении: одна со скоростью $\text{v}$, а другая со скоростью $v_1 = 1,1v$. Когда одна ракета догнала другую, на короткое время был включён двигатель первой ракеты. Какую массу отработанного топлива она должна выбросить со скоростью $v_2 = 3v$ относительно ракеты, чтобы скорости ракет для совершения безопасной стыковки стали равными?

Решение.

Дано:

Масса первой ракеты = $M$

Масса второй ракеты = $M$

Начальная скорость первой ракеты = $v$

Начальная скорость второй ракеты = $v_1 = 1,1v$

Скорость выброса топлива относительно ракеты = $v_2 = 3v$

Найти:

Массу отработанного топлива $m$

Решение:

Для безопасной стыковки скорости ракет должны стать равными. Вторая ракета летит быстрее, поэтому первой ракете (которая летит со скоростью $v$) необходимо увеличить свою скорость до $v_1$. Увеличение скорости произойдет за счет выброса отработанного топлива.

Рассмотрим систему, состоящую из первой ракеты и топлива, которое она выбросит. Для этой системы применим закон сохранения импульса, так как включение двигателя происходит на короткое время, и мы можем пренебречь внешними силами. Выберем инерциальную систему отсчета, связанную с Землей, и направим ось X по направлению движения ракет.

Импульс системы до включения двигателя (до выброса топлива):

$P_{до} = Mv$

После выброса топлива массой $m$ масса ракеты станет равной $(M - m)$, а ее скорость должна стать равной скорости второй ракеты $v_1 = 1,1v$ для успешной стыковки.

Найдем скорость выброшенного топлива $v_{топл}$ в выбранной инерциальной системе отсчета. По условию, скорость топлива относительно ракеты равна $v_2$. Топливо выбрасывается в сторону, противоположную движению ракеты, чтобы увеличить ее скорость. Поэтому скорость топлива относительно ракеты направлена против оси X.

Скорость топлива в инерциальной системе отсчета равна векторной сумме скорости ракеты после маневра и скорости топлива относительно ракеты:

$v_{топл} = v_1 - v_2 = 1,1v - 3v = -1,9v$

Знак "минус" показывает, что в инерциальной системе отсчета топливо будет двигаться в направлении, противоположном первоначальному движению ракет.

Импульс системы после включения двигателя (после выброса топлива):

$P_{после} = (M - m) \cdot v_1 + m \cdot v_{топл}$

Подставим известные значения скоростей:

$P_{после} = (M - m) \cdot (1,1v) + m \cdot (-1,9v)$

Согласно закону сохранения импульса, $P_{до} = P_{после}$:

$Mv = (M - m) \cdot 1,1v - m \cdot 1,9v$

Раскроем скобки и решим уравнение относительно $m$. Можно сократить на $v$, так как скорость не равна нулю.

$M = 1,1(M - m) - 1,9m$

$M = 1,1M - 1,1m - 1,9m$

$M = 1,1M - 3m$

Перенесем члены с $m$ в левую часть, а с $M$ - в правую:

$3m = 1,1M - M$

$3m = 0,1M$

$m = \frac{0,1M}{3} = \frac{1}{30}M$

Ответ: Ракета должна выбросить массу отработанного топлива, равную $m = \frac{M}{30}$.