Номер 10, страница 314 - гдз по физике 10 класс учебник Мякишев, Синяков

Законы сохранения в механике. Глава 5. Закон сохранения импульса. Параграф 5.7. Примеры решения задач. Упражнение 10 - номер 10, страница 314.

Условие.

10. Три лодки с одинаковыми массами $\text{M}$ движутся по инерции друг за другом с одинаковыми скоростями $\text{v}$. Из средней лодки в крайние одновременно перебрасывают грузы массой $\text{m}$ со скоростью $\text{u}$ относительно лодок. Какие скорости будут иметь лодки после перебрасывания грузов? Сопротивление воды и присоединённую массу не учитывать.

Решение.

Дано:

Масса каждой лодки: $M$

Начальная скорость лодок: $v$

Масса каждого груза: $m$

Скорость перебрасывания грузов относительно лодки: $u$

Найти:

Скорости лодок после перебрасывания грузов: $v'_1, v'_2, v'_3$

Решение:

Пронумеруем лодки в направлении их движения: 1 — передняя, 2 — средняя, 3 — задняя. Все расчеты будем вести в инерциальной системе отсчета, связанной с землей (берегом), направив ось OX по направлению начального движения лодок.

Будем исходить из наиболее вероятного физического предположения, что масса $M$ — это масса каждой из лодок, а два груза массой $m$ каждый изначально находились на средней лодке. Таким образом, начальная масса средней лодки с грузами составляет $M + 2m$.

Скорость средней лодки ($v'_2$)

Рассмотрим процесс выбрасывания двух грузов из средней лодки как взаимодействие тел в замкнутой системе "лодка 2 + два груза". Применим к этой системе закон сохранения импульса.

Импульс системы до выбрасывания: $P_{2,нач} = (M + 2m)v$.

Пусть $v'_2$ — скорость средней лодки сразу после выбрасывания грузов. Скорость $u$ дана относительно лодки, с которой бросают груз. Следовательно, абсолютные скорости грузов (относительно земли) будут:

Скорость груза, брошенного вперед (по ходу движения): $v_{гр,вперед} = v'_2 + u$.

Скорость груза, брошенного назад (против хода движения): $v_{гр,назад} = v'_2 - u$.

Импульс системы после выбрасывания: $P_{2,кон} = Mv'_2 + m \cdot v_{гр,вперед} + m \cdot v_{гр,назад}$.

Подставим выражения для скоростей грузов: $P_{2,кон} = Mv'_2 + m(v'_2 + u) + m(v'_2 - u)$.

Упрощая, получаем: $P_{2,кон} = Mv'_2 + mv'_2 + mu + mv'_2 - mu = (M + 2m)v'_2$.

Согласно закону сохранения импульса, $P_{2,нач} = P_{2,кон}$:

$(M + 2m)v = (M + 2m)v'_2$

Из этого уравнения следует, что $v'_2 = v$.

Ответ: Скорость средней лодки не изменится и будет равна $v'_2 = v$.

Скорость передней лодки ($v'_1$)

Передняя лодка (1) ловит груз массой $m$, летящий ей навстречу со скоростью $v_{гр,вперед} = v'_2 + u = v + u$. Этот процесс является абсолютно неупругим столкновением.

Применим закон сохранения импульса для системы "лодка 1 + летящий на нее груз".

Импульс системы до столкновения: $P_{1,нач} = Mv + m \cdot v_{гр,вперед} = Mv + m(v + u)$.

Импульс системы после столкновения (лодка и груз движутся вместе с новой скоростью $v'_1$): $P_{1,кон} = (M+m)v'_1$.

Приравниваем импульсы: $Mv + m(v + u) = (M+m)v'_1$.

$(M+m)v + mu = (M+m)v'_1$.

Выражаем $v'_1$:

$v'_1 = \frac{(M+m)v + mu}{M+m} = v + \frac{mu}{M+m}$.

Ответ: $v'_1 = v + \frac{mu}{M+m}$.

Скорость задней лодки ($v'_3$)

Задняя лодка (3) ловит груз массой $m$, летящий вдогонку со скоростью $v_{гр,назад} = v'_2 - u = v - u$. Это также абсолютно неупругое столкновение.

Применим закон сохранения импульса для системы "лодка 3 + догоняющий ее груз".

Импульс системы до столкновения: $P_{3,нач} = Mv + m \cdot v_{гр,назад} = Mv + m(v - u)$.

Импульс системы после столкновения: $P_{3,кон} = (M+m)v'_3$.

Приравниваем импульсы: $Mv + m(v - u) = (M+m)v'_3$.

$(M+m)v - mu = (M+m)v'_3$.

Выражаем $v'_3$:

$v'_3 = \frac{(M+m)v - mu}{M+m} = v - \frac{mu}{M+m}$.

Ответ: $v'_3 = v - \frac{mu}{M+m}$.