Номер 17, страница 315 - гдз по физике 10 класс учебник Мякишев, Синяков

Упражнение 10. Параграф 5.7. Примеры решения задач. Глава 5. Закон сохранения импульса. Законы сохранения в механике - номер 17, страница 315.

Условие.

17. С какой силой давит на землю кобра, когда она, готовясь к броску, поднимается вертикально вверх с постоянной скоростью $\text{v}$? Масса кобры $\text{m}$, а её длина $\text{l}$.

Решение.

Дано:

$m$ - масса кобры

$l$ - длина кобры

$v$ - скорость подъема (постоянная)

Найти:

$F$ - сила, с которой кобра давит на землю

Решение:

Рассмотрим кобру как однородную гибкую цепь. Сила, с которой кобра давит на землю, по третьему закону Ньютона равна по модулю силе нормальной реакции опоры $N$, действующей на кобру со стороны земли. Для нахождения этой силы воспользуемся вторым законом Ньютона для системы тел в форме $F_{внешн} = m a_{цм}$, где $F_{внешн}$ — равнодействующая внешних сил, $m$ — масса всей системы, а $a_{цм}$ — ускорение центра масс системы.

Внешними силами, действующими на кобру в вертикальном направлении, являются сила тяжести $mg$, направленная вниз, и сила нормальной реакции опоры $N$, направленная вверх. Выберем ось OY, направленную вертикально вверх. Тогда равнодействующая внешних сил равна:

$F_{внешн} = N - mg$

Теперь найдем ускорение центра масс кобры. Положение центра масс системы определяется по формуле:

$y_{цм} = \frac{m_1 y_1 + m_2 y_2}{m_1 + m_2}$

В момент времени $t$ после начала подъема, часть кобры длиной $y=vt$ поднялась и движется вверх со скоростью $v$, а часть длиной $(l-y)$ все еще лежит на земле. Будем считать, что поднявшаяся часть расположена вертикально.

Линейная плотность массы кобры $\rho = \frac{m}{l}$.

Масса поднявшейся части: $m_1 = \rho y = \frac{m}{l}vt$.

Масса оставшейся на земле части: $m_2 = \rho(l-y) = \frac{m}{l}(l-vt)$.

Координата центра масс лежащей на земле части $y_2 = 0$.

Координата центра масс поднявшейся части $y_1 = \frac{y}{2} = \frac{vt}{2}$.

Тогда координата центра масс всей кобры в момент времени $t$:

$y_{цм}(t) = \frac{(\frac{m}{l}vt) \cdot (\frac{vt}{2}) + (\frac{m}{l}(l-vt)) \cdot 0}{m} = \frac{\frac{m v^2 t^2}{2l}}{m} = \frac{v^2 t^2}{2l}$

Скорость центра масс найдем, взяв производную от координаты по времени:

$v_{цм}(t) = \frac{d y_{цм}}{dt} = \frac{d}{dt} \left( \frac{v^2 t^2}{2l} \right) = \frac{v^2 \cdot 2t}{2l} = \frac{v^2 t}{l}$

Ускорение центра масс найдем, взяв производную от скорости по времени:

$a_{цм}(t) = \frac{d v_{цм}}{dt} = \frac{d}{dt} \left( \frac{v^2 t}{l} \right) = \frac{v^2}{l}$

Ускорение центра масс постоянно, пока кобра поднимается.

Теперь подставим найденное ускорение во второй закон Ньютона:

$N - mg = m \cdot a_{цм}$

$N - mg = m \cdot \frac{v^2}{l}$

Отсюда находим силу нормальной реакции:

$N = mg + \frac{mv^2}{l}$

Сила давления на землю $F$ равна по модулю силе нормальной реакции $N$.

$F = mg + \frac{mv^2}{l}$

Эта сила складывается из веса всей кобры $mg$ и дополнительной силы $\frac{mv^2}{l}$, необходимой для постоянного ускорения всё новых и новых участков кобры от состояния покоя до скорости $v$.

Ответ: $F = mg + \frac{mv^2}{l}$.