Номер 13, страница 315 - гдз по физике 10 класс учебник Мякишев, Синяков

Упражнение 10. Параграф 5.7. Примеры решения задач. Глава 5. Закон сохранения импульса. Законы сохранения в механике - номер 13, страница 315.

Условие.

13. Клин с углом $ \alpha $ при основании может без трения перемещать-ся по гладкой горизонтальной поверхности (рис. 5.17). При каком соотношении масс $ m_1 $ и $ m_2 $ грузов, связанных нитью, перекинутой через блок, клин будет неподвижен и при каком соотношении масс клин нач-нёт перемещаться вправо или влево? Коэффициент тре-ния между грузом массой $ m_2 $ и клином равен $ \mu $.

Рис. 5.17

Решение.

Дано:

Масса первого груза: $m_1$
Масса второго груза: $m_2$
Угол наклона клина: $α$
Коэффициент трения между грузом $m_2$ и клином: $μ$
Клин может перемещаться по горизонтальной поверхности без трения.

Найти:
1. Соотношение масс $m_1$ и $m_2$, при котором клин будет неподвижен.
2. Соотношение масс, при котором клин начнёт перемещаться вправо или влево.

Решение:

Рассмотрим систему в инерциальной системе отсчета, связанной с землей. Для того чтобы клин был неподвижен, необходимо, чтобы сумма горизонтальных сил, действующих на него, была равна нулю. При этом грузы $m_1$ и $m_2$ также должны находиться в состоянии покоя.

1. Силы, действующие на грузы:
На груз $m_1$ действуют сила тяжести $m_1g$ вниз и сила натяжения нити $T$ вверх. Из условия равновесия:$T = m_1g$

На груз $m_2$ действуют сила тяжести $m_2g$, сила натяжения нити $T$ (вверх вдоль наклонной плоскости), сила нормальной реакции $N$ (перпендикулярно наклонной плоскости) и сила трения покоя $F_{тр}$ (вдоль наклонной плоскости). Запишем уравнения равновесия для груза $m_2$ в проекциях на оси, направленные перпендикулярно и параллельно наклонной плоскости:
- Вдоль оси, перпендикулярной плоскости: $N - m_2g \cos(α) = 0 \implies N = m_2g \cos(α)$.
- Вдоль оси, параллельной плоскости: $T - m_2g \sin(α) \pm F_{тр} = 0$. Знак силы трения зависит от того, в какую сторону груз $m_2$ стремится двигаться.

2. Силы, действующие на клин в горизонтальном направлении:
На клин действуют горизонтальные силы от груза $m_2$ и от нити через блок.
- Груз $m_2$ давит на клин с силой нормальной реакции $N'$ (равной $N$ по модулю) и силой трения $F'_{тр}$ (равной $F_{тр}$ по модулю). Горизонтальная проекция силы $N'$ направлена вправо и равна $N \sin(α)$. Горизонтальная проекция силы $F'_{тр}$ равна $F_{тр} \cos(α)$ и направлена влево, если $m_2$ стремится скользить вниз, и вправо, если $m_2$ стремится скользить вверх.
- Нить через блок тянет клин влево. Горизонтальная проекция силы натяжения нити равна $T \cos(α)$.
Условие равновесия клина: $N \sin(α) - T \cos(α) \pm F_{тр} \cos(α) = 0$.

Теперь рассмотрим предельные случаи, определяющие диапазон равновесия.

Условие, при котором клин будет неподвижен

Клин будет неподвижен, пока система находится в равновесии. Это возможно, пока требуемая для равновесия сила трения $F_{тр}$ не превышает своего максимального значения $F_{тр,max} = \mu N = \mu m_2 g \cos(α)$.

Случай 1: Груз $m_2$ готов соскользнуть вниз (масса $m_1$ минимальна). Сила трения $F_{тр}$ на грузе $m_2$ направлена вверх.
Из равновесия $m_2$: $T + F_{тр,max} - m_2 g \sin(α) = 0$.
$m_1 g + \mu m_2 g \cos(α) - m_2 g \sin(α) = 0$.
Отсюда находим минимальное значение $m_1$:
$m_{1,min} = m_2(\sin(α) - \mu \cos(α))$.

Случай 2: Груз $m_2$ готов двигаться вверх (масса $m_1$ максимальна). Сила трения $F_{тр}$ на грузе $m_2$ направлена вниз.
Из равновесия $m_2$: $T - F_{тр,max} - m_2 g \sin(α) = 0$.
$m_1 g - \mu m_2 g \cos(α) - m_2 g \sin(α) = 0$.
Отсюда находим максимальное значение $m_1$:
$m_{1,max} = m_2(\sin(α) + \mu \cos(α))$.

Таким образом, клин останется неподвижным, если масса $m_1$ находится в диапазоне $[m_{1,min}, m_{1,max}]$. Запишем это в виде соотношения масс.
Стоит отметить, что если $\sin(α) - \mu \cos(α) \le 0$, то есть $\tan(α) \le \mu$, то сила трения сама по себе способна удержать груз $m_2$ на наклонной плоскости даже при $m_1=0$. В этом случае нижняя граница для $m_1$ равна нулю.
Ответ: Клин будет неподвижен, если соотношение масс удовлетворяет неравенству: $m_2(\sin(α) - \mu \cos(α)) \le m_1 \le m_2(\sin(α) + \mu \cos(α))$. Если $\tan(α) \le \mu$, то условие принимает вид $0 \le m_1 \le m_2(\sin(α) + \mu \cos(α))$.

Условие, при котором клин начнёт перемещаться вправо или влево

Клин начнет движение, когда условия равновесия нарушатся.

Перемещение вправо:
Клин начнет двигаться вправо, если результирующая горизонтальная сила на него будет направлена вправо. Это произойдет, когда масса $m_1$ станет меньше минимального значения, необходимого для равновесия. В этом случае груз $m_2$ начнет соскальзывать вниз, и горизонтальная сила от нормальной реакции $N \sin(α)$ превысит сумму горизонтальных сил от натяжения нити и трения.
Это возможно, только если $m_{1,min} > 0$, то есть $\sin(α) - \mu \cos(α) > 0$ или $\tan(α) > \mu$.
Ответ: Клин начнёт перемещаться вправо при соотношении масс $m_1 < m_2(\sin(α) - \mu \cos(α))$, что возможно только при условии $\tan(α) > \mu$.

Перемещение влево:
Клин начнет двигаться влево, если результирующая горизонтальная сила на него будет направлена влево. Это произойдет, когда масса $m_1$ превысит максимальное значение, при котором возможно равновесие. В этом случае груз $m_1$ начнет опускаться, увлекая за собой груз $m_2$ вверх по наклонной плоскости, а горизонтальная сила от натяжения нити $T \cos(α)$ превысит сумму горизонтальных сил от нормальной реакции и трения.
Ответ: Клин начнёт перемещаться влево при соотношении масс $m_1 > m_2(\sin(α) + \mu \cos(α))$.