Номер 11, страница 314 - гдз по физике 10 класс учебник Мякишев, Синяков

Законы сохранения в механике. Глава 5. Закон сохранения импульса. Параграф 5.7. Примеры решения задач. Упражнение 10 - номер 11, страница 314.

Условие.

11. Снаряд разрывается в верхней точке траектории на два одинаковых осколка. Первый осколок получает скорость, направленную вертикально вниз, и падает под местом разрыва, а второй оказывается на расстоянии $\text{l}$ по горизонтали от этого места. Определите модуль скорости снаряда перед разрывом и модуль скорости второго осколка, если известно, что взрыв произошёл на высоте $\text{H}$ и первый осколок достиг поверхности Земли через промежуток времени, равный $\text{t}$.

Решение.

Дано:

Высота разрыва: $H$
Массы осколков: $m_1 = m_2 = m$
Дальность полета второго осколка: $l$
Время падения первого осколка: $t$
Ускорение свободного падения: $g$

Все величины представлены в системе СИ.

Найти:

Модуль скорости снаряда перед разрывом: $v_{сн}$
Модуль скорости второго осколка после разрыва: $v_2$

Решение:

Введем систему координат с началом в точке разрыва снаряда. Ось $OX$ направим горизонтально в сторону движения снаряда, а ось $OY$ — вертикально вверх. В верхней точке траектории, где происходит разрыв, снаряд имеет только горизонтальную составляющую скорости, которую обозначим $v_{сн}$. Его вертикальная составляющая скорости равна нулю.

Пусть масса снаряда до разрыва была $M = 2m$, тогда масса каждого из двух одинаковых осколков равна $m$.

1. Рассмотрим движение первого осколка. По условию, он получает скорость, направленную вертикально вниз, и падает под местом разрыва. Это означает, что его начальная горизонтальная скорость равна нулю, а начальная вертикальная скорость направлена вниз. Обозначим модуль этой скорости $v_1$. Осколок падает с высоты $H$ за время $t$. Запишем уравнение его движения по оси $OY$:$H = v_1 t + \frac{gt^2}{2}$Отсюда выразим начальную скорость первого осколка:$v_1 = \frac{H - \frac{gt^2}{2}}{t} = \frac{H}{t} - \frac{gt}{2}$

2. Разрыв снаряда является внутренним процессом для системы из двух осколков, поэтому для неё выполняется закон сохранения импульса.Импульс системы до разрыва: $\vec{P}_{до} = (2m)\vec{v}_{сн}$. В проекции на оси: $P_{до, x} = 2mv_{сн}$, $P_{до, y} = 0$.Импульс системы после разрыва: $\vec{P}_{после} = m\vec{v}_1 + m\vec{v}_2$.Скорость первого осколка $\vec{v}_1$ направлена вниз, $\vec{v}_1 = (0, -v_1)$.Скорость второго осколка $\vec{v}_2 = (v_{2x}, v_{2y})$.Импульс после разрыва в проекциях: $P_{после, x} = m \cdot 0 + m v_{2x} = m v_{2x}$, $P_{после, y} = m(-v_1) + m v_{2y}$.

Приравнивая проекции импульсов до и после разрыва:

На ось $OX$: $2mv_{сн} = mv_{2x} \implies v_{2x} = 2v_{сн}$.

На ось $OY$: $0 = m(-v_1) + mv_{2y} \implies v_{2y} = v_1$.

Таким образом, второй осколок после разрыва имеет горизонтальную скорость $v_{2x} = 2v_{сн}$ и вертикальную скорость $v_{2y} = v_1$, направленную вверх.

3. Рассмотрим движение второго осколка. Он пролетает по горизонтали расстояние $l$ за время своего полета $t_2$.Уравнение движения по горизонтали: $l = v_{2x} t_2 = 2v_{сн} t_2$.Отсюда $v_{сн} = \frac{l}{2t_2}$.

Уравнение движения по вертикали (учитывая, что начальная скорость $v_1$ направлена вверх, а конечное смещение равно $-H$):$-H = v_1 t_2 - \frac{gt_2^2}{2}$, или $H = -v_1 t_2 + \frac{gt_2^2}{2}$.

4. У нас есть два выражения для высоты $H$:

1) из движения первого осколка: $H = v_1 t + \frac{gt^2}{2}$

2) из движения второго осколка: $H = -v_1 t_2 + \frac{gt_2^2}{2}$

Приравняем правые части:$v_1 t + \frac{gt^2}{2} = -v_1 t_2 + \frac{gt_2^2}{2}$$v_1(t + t_2) = \frac{g}{2}(t_2^2 - t^2) = \frac{g}{2}(t_2 - t)(t_2 + t)$Поскольку $t+t_2 > 0$, можно сократить этот множитель:$v_1 = \frac{g}{2}(t_2 - t)$Отсюда найдем время полета второго осколка $t_2$:$t_2 - t = \frac{2v_1}{g} \implies t_2 = t + \frac{2v_1}{g}$Подставим ранее найденное выражение для $v_1$:$t_2 = t + \frac{2}{g}\left(\frac{H}{t} - \frac{gt}{2}\right) = t + \frac{2H}{gt} - t = \frac{2H}{gt}$

Теперь мы можем найти искомые скорости.

Модуль скорости снаряда перед разрывом

Подставим найденное время $t_2$ в формулу для скорости снаряда:$v_{сн} = \frac{l}{2t_2} = \frac{l}{2 \cdot \frac{2H}{gt}} = \frac{lgt}{4H}$

Ответ: $v_{сн} = \frac{lgt}{4H}$

Модуль скорости второго осколка

Модуль скорости второго осколка сразу после разрыва определяется по теореме Пифагора через компоненты его скорости:$v_2 = \sqrt{v_{2x}^2 + v_{2y}^2}$Мы знаем, что $v_{2x} = 2v_{сн}$ и $v_{2y} = v_1$. Подставим их выражения:$v_{2x} = 2 \cdot \frac{lgt}{4H} = \frac{lgt}{2H}$$v_{2y} = v_1 = \frac{H}{t} - \frac{gt}{2}$Тогда модуль скорости второго осколка:$v_2 = \sqrt{\left(\frac{lgt}{2H}\right)^2 + \left(\frac{H}{t} - \frac{gt}{2}\right)^2}$

Ответ: $v_2 = \sqrt{\left(\frac{lgt}{2H}\right)^2 + \left(\frac{H}{t} - \frac{gt}{2}\right)^2}$