Номер 16, страница 315 - гдз по физике 10 класс учебник Мякишев, Синяков

Упражнение 10. Параграф 5.7. Примеры решения задач. Глава 5. Закон сохранения импульса. Законы сохранения в механике - номер 16, страница 315.

Условие.

16. Водомётный катер движется по озеру. Сила сопротивления воды движению катера по модулю равна $F = kv$. Скорость выбрасываемой воды относительно катера равна $\text{u}$. Определите установившуюся скорость катера, если площадь сечения потока воды, выбрасываемой двигателем, равна $\text{S}$, а плотность воды равна $\rho$.

Решение.

Дано:

Сила сопротивления воды: $F = kv$

Скорость выбрасываемой воды относительно катера: $u$

Площадь сечения потока воды: $S$

Плотность воды: $\rho$

Коэффициент пропорциональности: $k$

Найти:

Установившуюся скорость катера $v$

Решение:

Установившаяся скорость $v$ — это постоянная скорость движения катера, при которой его ускорение равно нулю. Согласно второму закону Ньютона, это означает, что сумма всех сил, действующих на катер в горизонтальном направлении, равна нулю. На катер действуют сила тяги водомёта $F_{тяги}$ и сила сопротивления воды $F_{сопр}$. Условие равновесия имеет вид:

$F_{тяги} = F_{сопр}$

Сила сопротивления дана по условию: $F_{сопр} = kv$.

Сила тяги создаётся за счёт изменения импульса воды, которую катер забирает из озера и выбрасывает назад. Найдём эту силу, используя закон изменения импульса в неподвижной системе отсчёта, связанной с озером. Начальная скорость забираемой воды равна нулю. Катер движется со скоростью $v$, а вода выбрасывается назад со скоростью $u$ относительно катера. Значит, абсолютная скорость выброшенной воды (относительно озера) равна $v_{абс} = v - u$.

Массовый расход воды (масса воды, проходящая через двигатель в секунду) определяется скоростью потока относительно катера $u$ и площадью сечения $S$:

$\dot{m} = \rho S u$

Сила, с которой двигатель действует на воду, равна скорости изменения импульса воды: $F_{на\_воду} = \dot{m} \cdot (v_{абс} - v_{начальная}) = \dot{m} (v-u - 0) = \dot{m}(v-u)$.

Согласно третьему закону Ньютона, сила тяги, действующая на катер, равна по модулю и противоположна по направлению:

$F_{тяги} = -F_{на\_воду} = -\dot{m}(v-u) = \dot{m}(u-v)$

Подставим выражение для массового расхода, получим силу тяги:

$F_{тяги} = \rho S u (u-v)$

Теперь приравняем силу тяги и силу сопротивления:

$\rho S u (u-v) = kv$

Решим это уравнение относительно $v$. Раскроем скобки:

$\rho S u^2 - \rho S u v = kv$

Перенесём слагаемые, содержащие $v$, в одну сторону:

$\rho S u^2 = kv + \rho S u v$

Вынесем $v$ за скобки:

$\rho S u^2 = v(k + \rho S u)$

Отсюда выражаем установившуюся скорость:

$v = \frac{\rho S u^2}{k + \rho S u}$

Ответ: $v = \frac{\rho S u^2}{k + \rho S u}$.