Номер 4, страница 39 - гдз по физике 10 класс учебник Мякишев, Буховцев

Обсудить в классе. Параграф 10. Движение с постоянным ускорением. Глава 1. Кинематика точки и твёрдого тела - номер 4, страница 39.

Условие.

Решение.

Решение 3.

Кинематические уравнения движения точки — это зависимости, описывающие её положение в пространстве в любой момент времени. Движение точки в пространстве считается полностью определенным, если известен закон, по которому меняются её координаты с течением времени. Существует два основных способа задания этого закона.

Координатный способ. При этом способе положение точки $M$ в пространстве в любой момент времени $t$ задается тремя скалярными функциями времени — её декартовыми координатами $x, y, z$:

$x = x(t)$

$y = y(t)$

$z = z(t)$

Эта система из трех уравнений называется кинематическими уравнениями движения точки в координатной форме. Она задает закон движения в параметрическом виде, где параметром выступает время $t$. Совокупность этих уравнений определяет траекторию движения точки.

Векторный способ. В этом случае положение точки $M$ задается её радиус-вектором $\vec{r}$, проведенным из начала некоторой системы отсчета в точку $M$. При движении точки её радиус-вектор изменяется со временем, то есть является вектор-функцией скалярного аргумента $t$:

$\vec{r} = \vec{r}(t)$

Это векторное кинематическое уравнение движения. В декартовой системе координат радиус-вектор можно разложить по ортам (единичным векторам) осей $\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}$, что показывает связь с координатным способом:

$\vec{r}(t) = x(t)\vec{i} + y(t)\vec{j} + z(t)\vec{k}$

где $x(t), y(t), z(t)$ — это проекции радиус-вектора на оси, совпадающие с координатами точки.

Зная кинематические уравнения движения, можно найти и другие характеристики движения, такие как скорость и ускорение, путем дифференцирования уравнений по времени.

Вектор мгновенной скорости $\vec{v}$ является первой производной от радиус-вектора по времени:

$\vec{v}(t) = \frac{d\vec{r}(t)}{dt}$

Вектор мгновенного ускорения $\vec{a}$ является первой производной от вектора скорости по времени (и, соответственно, второй производной от радиус-вектора):

$\vec{a}(t) = \frac{d\vec{v}(t)}{dt} = \frac{d^2\vec{r}(t)}{dt^2}$

Для частного, но очень важного случая равноускоренного движения, когда вектор ускорения постоянен ($\vec{a} = \text{const}$), кинематические уравнения принимают конкретный вид:

Уравнение для радиус-вектора (закон движения): $\vec{r}(t) = \vec{r}_0 + \vec{v}_0 t + \frac{\vec{a}t^2}{2}$

Уравнение для скорости: $\vec{v}(t) = \vec{v}_0 + \vec{a}t$

Здесь $\vec{r}_0$ и $\vec{v}_0$ — это радиус-вектор и скорость точки в начальный момент времени $t=0$.

Ответ: Кинематические уравнения движения точки в пространстве — это зависимости её координат от времени $t$, которые в общем виде записываются как система из трех уравнений: $x = x(t)$, $y = y(t)$, $z = z(t)$. В эквивалентной векторной форме это записывается как зависимость радиус-вектора точки от времени: $\vec{r}(t) = x(t)\vec{i} + y(t)\vec{j} + z(t)\vec{k}$. Эти уравнения полностью определяют положение точки в любой момент времени.