Номер 3, страница 169 - гдз по физике 10 класс учебник Мякишев, Буховцев

Вопросы к параграфу. Параграф 51. Равновесие тел. Глава 6. Равновесие абсолютно твердых тел - номер 3, страница 169.

Условие.

Решение.

Решение 3.

Решение

Для того чтобы абсолютно твёрдое тело находилось в состоянии равновесия в инерциальной системе отсчёта, необходимо и достаточно выполнение двух независимых условий. Состояние равновесия означает, что тело не имеет ни линейного (поступательного), ни углового (вращательного) ускорения, то есть оно либо покоится, либо движется равномерно и прямолинейно, не изменяя своей ориентации в пространстве.

Первое условие равновесия (условие равновесия для поступательного движения)

Векторная сумма всех внешних сил, приложенных к телу, должна быть равна нулю.

Это условие гарантирует отсутствие ускорения у центра масс тела. Оно является следствием второго закона Ньютона ($ \sum \vec{F} = m\vec{a}_{c} $). Если равнодействующая всех сил равна нулю ($ \sum \vec{F} = 0 $), то и ускорение центра масс $ \vec{a}_{c} $ равно нулю. Это означает, что центр масс тела либо покоится, либо движется с постоянной скоростью.

Математически это условие записывается в виде: $$ \sum_{i} \vec{F_i} = 0 $$

В проекциях на оси декартовой системы координат (x, y, z) это векторное уравнение эквивалентно системе из трёх скалярных уравнений: $$ \sum F_{ix} = 0; \quad \sum F_{iy} = 0; \quad \sum F_{iz} = 0 $$

Второе условие равновесия (условие равновесия для вращательного движения)

Сумма моментов всех внешних сил относительно любой произвольно выбранной точки (или оси) должна быть равна нулю.

Это условие, также известное как правило моментов, гарантирует отсутствие углового ускорения тела. Оно следует из основного закона динамики вращательного движения ($ \sum \vec{M} = I\vec{\epsilon} $). Если суммарный момент сил равен нулю ($ \sum \vec{M} = 0 $), то угловое ускорение $ \vec{\epsilon} $ также равно нулю. Это значит, что тело либо не вращается, либо вращается с постоянной угловой скоростью.

Математически второе условие записывается так: $$ \sum_{i} \vec{M_i} = \sum_{i} (\vec{r_i} \times \vec{F_i}) = 0 $$ Здесь $ \vec{M_i} $ — это момент i-ой силы $ \vec{F_i} $, а $ \vec{r_i} $ — радиус-вектор, проведённый от выбранного центра моментов до точки приложения силы. Важно отметить, что центр, относительно которого вычисляются моменты, может быть выбран произвольно, но он должен быть одним и тем же для всех сил.

В проекциях на оси координат это условие также даёт три скалярных уравнения: $$ \sum M_{ix} = 0; \quad \sum M_{iy} = 0; \quad \sum M_{iz} = 0 $$

Таким образом, для полного равновесия твёрдого тела необходимо и достаточно, чтобы были выполнены оба этих условия одновременно. Нарушение хотя бы одного из них приведет к тому, что тело выйдет из состояния равновесия.

Ответ: Необходимыми и достаточными условиями равновесия твёрдого тела являются одновременное выполнение двух равенств:

1. Векторная сумма всех внешних сил, действующих на тело, равна нулю: $ \sum \vec{F} = 0 $.

2. Сумма моментов всех внешних сил относительно любого произвольно выбранного центра (или оси) равна нулю: $ \sum \vec{M} = 0 $.