Номер 3, страница 232 - гдз по физике 10 класс учебник Мякишев, Буховцев

3. Высота пика Ленина на Памире равна 7134 м. Атмосферное давление на этой высоте равно $3,8 \cdot 10^4$ Па. Определите плотность воздуха на вершине пика при температуре $0°C$, если плотность воздуха при нормальных условиях $1,29 \text{ кг}/\text{м}^3$.

Дано:

Высота пика, $h = 7134 \text{ м}$

Атмосферное давление на вершине пика, $p_1 = 3,8 \cdot 10^4 \text{ Па}$

Температура на вершине пика, $t_1 = 0 \text{ °C}$

Плотность воздуха при нормальных условиях, $\rho_н = 1,29 \text{ кг/м³}$

Справочные данные для нормальных условий (н.у.):

Давление, $p_н = 101325 \text{ Па}$

Температура, $t_н = 0 \text{ °C}$

Перевод в СИ:

Абсолютная температура на вершине: $T_1 = t_1 + 273,15 = 0 + 273,15 = 273,15 \text{ К}$

Абсолютная температура при н.у.: $T_н = t_н + 273,15 = 0 + 273,15 = 273,15 \text{ К}$

Все остальные величины уже представлены в системе СИ.

Найти:

Плотность воздуха на вершине пика, $\rho_1$

Решение:

Для решения задачи будем рассматривать воздух как идеальный газ. Состояние идеального газа описывается уравнением Менделеева-Клапейрона:

$p V = \frac{m}{M} R T$

где $p$ — давление, $V$ — объем, $m$ — масса газа, $M$ — его молярная масса, $R$ — универсальная газовая постоянная, а $T$ — абсолютная температура.

Плотность газа определяется по формуле $\rho = \frac{m}{V}$. Выразим объем $V = \frac{m}{\rho}$ и подставим в уравнение состояния:

$p \frac{m}{\rho} = \frac{m}{M} R T$

Сократив массу $m$, получим связь между давлением и плотностью:

$\frac{p}{\rho} = \frac{R T}{M}$

Запишем это соотношение для двух состояний воздуха: на вершине пика (индекс 1) и при нормальных условиях (индекс "н").

1. На вершине: $\frac{p_1}{\rho_1} = \frac{R T_1}{M}$

2. При нормальных условиях: $\frac{p_н}{\rho_н} = \frac{R T_н}{M}$

Согласно условию задачи, температура на вершине пика равна температуре при нормальных условиях: $T_1 = T_н = 273,15 \text{ К}$. Поскольку молярная масса воздуха $M$ и газовая постоянная $R$ также не изменяются, правые части обоих уравнений равны.

Следовательно, мы можем приравнять и левые части:

$\frac{p_1}{\rho_1} = \frac{p_н}{\rho_н}$

Это соотношение является выражением закона Бойля-Мариотта для изотермического процесса. Из него выразим искомую плотность воздуха на вершине $\rho_1$:

$\rho_1 = \rho_н \cdot \frac{p_1}{p_н}$

Высота пика, указанная в условии, не требуется для решения, так как нам уже дано давление на этой высоте.

Подставим числовые значения в полученную формулу:

$\rho_1 = 1,29 \text{ кг/м³} \cdot \frac{3,8 \cdot 10^4 \text{ Па}}{101325 \text{ Па}} \approx 1,29 \cdot 0,37504 \text{ кг/м³} \approx 0,4838 \text{ кг/м³}$

Округлим результат до трех значащих цифр.

$\rho_1 \approx 0,484 \text{ кг/м³}$

Ответ: плотность воздуха на вершине пика равна примерно $0,484 \text{ кг/м³}$.