Номер 4, страница 232 - гдз по физике 10 класс учебник Мякишев, Буховцев

Образцы заданий ЕГЭ. Параграф 69. Примеры решения задач по теме «Газовые законы». Глава 10. Уравнение состояния идеального газа. Газовые законы - номер 4, страница 232.

Условие.

Решение.

Решение 3.

Дано:

$v = 0.09$ моль

$m = 5$ кг

$p_0 = 100$ кПа

$\Delta h = 4$ см

$\Delta T = 16$ К

$p_0 = 100 \cdot 10^3 \text{ Па} = 10^5 \text{ Па}$

$\Delta h = 4 \text{ см} = 0.04 \text{ м}$

Найти:

$S$ - ?

Решение:

Поскольку поршень в цилиндре может перемещаться свободно и без трения, процесс нагревания газа является изобарным, то есть он происходит при постоянном давлении $p$. Это давление определяется условием механического равновесия поршня. На поршень действуют три силы: сила тяжести поршня $mg$, направленная вниз, сила атмосферного давления $F_0 = p_0S$, также направленная вниз, и сила давления газа $F_{газа} = pS$, направленная вверх. В состоянии равновесия сумма сил, действующих на поршень, равна нулю:

$F_{газа} = F_0 + mg$

Запишем это уравнение через давление и площадь поршня $S$:

$pS = p_0S + mg$

Отсюда можно выразить давление газа в цилиндре:

$p = p_0 + \frac{mg}{S}$

Для изобарного процесса изменение состояния идеального газа описывается уравнением Менделеева-Клапейрона. Запишем его для начального (1) и конечного (2) состояний:

$pV_1 = vRT_1$

$pV_2 = vRT_2$

Вычитая первое уравнение из второго, получаем соотношение для изменений параметров состояния:

$p(V_2 - V_1) = vR(T_2 - T_1)$

Введем обозначения для приращений: $\Delta V = V_2 - V_1$ и $\Delta T = T_2 - T_1$.

$p \Delta V = vR \Delta T$

Изменение объема газа $\Delta V$ при подъеме поршня на высоту $\Delta h$ равно объему цилиндра с основанием $S$ и высотой $\Delta h$:

$\Delta V = S \cdot \Delta h$

Подставим полученные выражения для давления $p$ и изменения объема $\Delta V$ в уравнение $p \Delta V = vR \Delta T$:

$(p_0 + \frac{mg}{S}) \cdot (S \Delta h) = vR \Delta T$

Раскроем скобки в левой части уравнения:

$p_0 S \Delta h + \frac{mg}{S} S \Delta h = vR \Delta T$

$p_0 S \Delta h + mg \Delta h = vR \Delta T$

Из этого уравнения выразим искомую площадь поршня $S$:

$p_0 S \Delta h = vR \Delta T - mg \Delta h$

$S = \frac{vR \Delta T - mg \Delta h}{p_0 \Delta h}$

Подставим числовые значения в полученную формулу. Будем использовать универсальную газовую постоянную $R \approx 8.31$ Дж/(моль·К) и ускорение свободного падения $g \approx 9.8$ м/с².

$S = \frac{0.09 \cdot 8.31 \cdot 16 - 5 \cdot 9.8 \cdot 0.04}{10^5 \cdot 0.04}$

$S = \frac{11.9664 - 1.96}{4000} = \frac{10.0064}{4000} \approx 0.0025016 \text{ м}^2$

Округлим результат. Для наглядности также переведем его в квадратные сантиметры ($1 \text{ м}^2 = 10000 \text{ см}^2$).

$S \approx 0.0025 \text{ м}^2 = 25 \text{ см}^2$

Ответ: площадь поршня равна примерно $0.0025 \text{ м}^2$ или $25 \text{ см}^2$.