Номер 5, страница 308 - гдз по физике 10 класс учебник Мякишев, Буховцев

Задачи для самостоятельного решения. Параграф 92. Примеры решения задач по теме «Закон Кулона». Глава 14. Электростатика - номер 5, страница 308.

Условие.

Решение.

Решение 3.

Дано

Длина нити $L = 1$ м

Диэлектрическая проницаемость масла $\epsilon = 2,2$

Заряд каждого шарика $q_1 = q_2 = q = 9 \cdot 10^{-6}$ Кл

Угол между нитями $\alpha = 60°$

Электрическая постоянная $k = 9 \cdot 10^9$ Н·м²/Кл²

Ускорение свободного падения $g \approx 9,8$ м/с²

Найти:

Массу каждого шарика $m$.

Решение

Рассмотрим один из шариков в положении равновесия. На него действуют три силы:

1. Сила тяжести $F_g = mg$, направленная вертикально вниз.
2. Сила натяжения нити $T$, направленная вдоль нити.
3. Сила электростатического отталкивания (сила Кулона) $F_e$, направленная горизонтально от другого шарика.

Поскольку система находится в равновесии, векторная сумма этих сил равна нулю: $\vec{F_g} + \vec{T} + \vec{F_e} = 0$.

Угол расхождения нитей равен $\alpha = 60°$. Это означает, что каждая нить отклонена от вертикали на угол $\theta = \frac{\alpha}{2} = \frac{60°}{2} = 30°$.

Запишем условия равновесия в проекциях на оси координат (ось X — горизонтально, ось Y — вертикально):

Проекция на ось X: $F_e - T \sin(\theta) = 0 \implies T \sin(\theta) = F_e$ (1)

Проекция на ось Y: $T \cos(\theta) - F_g = 0 \implies T \cos(\theta) = mg$ (2)

Разделим уравнение (1) на уравнение (2):

$\frac{T \sin(\theta)}{T \cos(\theta)} = \frac{F_e}{mg}$

$\tan(\theta) = \frac{F_e}{mg}$

Отсюда можем выразить массу шарика $m$:

$m = \frac{F_e}{g \tan(\theta)}$

Сила Кулона $F_e$ в диэлектрической среде (масле) определяется по формуле:

$F_e = \frac{k q^2}{\epsilon r^2}$

где $r$ — расстояние между шариками.

Шарики и точка подвеса образуют равнобедренный треугольник с боковыми сторонами $L=1$ м и углом при вершине $\alpha = 60°$. Такой треугольник является равносторонним. Следовательно, расстояние между шариками $r$ равно длине нити $L$.

$r = L = 1$ м.

Теперь можем рассчитать силу Кулона:

$F_e = \frac{9 \cdot 10^9 \cdot (9 \cdot 10^{-6})^2}{2,2 \cdot 1^2} = \frac{9 \cdot 10^9 \cdot 81 \cdot 10^{-12}}{2,2} = \frac{729 \cdot 10^{-3}}{2,2} \approx 0,3314$ Н.

Подставим значение $F_e$ в формулу для массы:

$m = \frac{F_e}{g \tan(\theta)} = \frac{0,3314}{9,8 \cdot \tan(30°)}$

Зная, что $\tan(30°) = \frac{1}{\sqrt{3}} \approx 0,577$, получаем:

$m \approx \frac{0,3314}{9,8 \cdot 0,577} \approx \frac{0,3314}{5,6546} \approx 0,0586$ кг.

Ответ: $m \approx 0,059$ кг или $59$ г.