Номер 2, страница 321 - гдз по физике 10 класс учебник Мякишев, Буховцев

Задачи для самостоятельного решения. Параграф 97. Примеры решения задач по теме «Напряженность электрического поля. Принцип суперпозиции полей». Глава 14. Электростатика - номер 2, страница 321.

Условие.

Решение.

Решение 3.

Дано:

Точечный заряд $q = 10^{-9}$ Кл

Относительная диэлектрическая проницаемость сферической оболочки $\varepsilon = 2$

Внутренний радиус оболочки $R_1 = 5$ см

Внешний радиус оболочки $R_2 = 6$ см

$R_1 = 5 \text{ см} = 0.05 \text{ м}$

$R_2 = 6 \text{ см} = 0.06 \text{ м}$

Найти:

Зависимость напряжённости электрического поля от расстояния $E(r)$ и начертить график этой зависимости.

Решение:

Для определения напряжённости электрического поля $E$ в зависимости от расстояния $r$ от точечного заряда воспользуемся теоремой Гаусса для вектора электрического смещения $\vec{D}$. В силу сферической симметрии задачи, в качестве гауссовой поверхности выберем сферу радиусом $r$ с центром в точке нахождения заряда $q$.

Теорема Гаусса гласит: $\oint_S \vec{D} \cdot d\vec{S} = Q_{своб}$, где $Q_{своб}$ — свободный заряд, охватываемый поверхностью $S$.

Для сферической поверхности $D \cdot 4\pi r^2 = q$, откуда модуль вектора электрического смещения $D = \frac{q}{4\pi r^2}$.

Связь между напряжённостью поля $E$ и электрическим смещением $D$ определяется как $D = \varepsilon_0 \varepsilon E$, где $\varepsilon_0$ — электрическая постоянная, а $\varepsilon$ — относительная диэлектрическая проницаемость среды.

Таким образом, напряжённость поля $E(r) = \frac{D}{\varepsilon_0 \varepsilon} = \frac{q}{4\pi \varepsilon_0 \varepsilon r^2} = k \frac{q}{\varepsilon r^2}$, где $k = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \approx 9 \cdot 10^9 \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{Кл}^2}$.

Рассмотрим три области пространства.

1. Область внутри сферической оболочки ($r < R_1$)

В этой области среда — вакуум, поэтому $\varepsilon = 1$. Напряжённость поля создаётся только точечным зарядом $q$.

$E_1(r) = \frac{k q}{r^2} = \frac{9 \cdot 10^9 \cdot 10^{-9}}{r^2} = \frac{9}{r^2}$

На границе с диэлектриком при $r \to R_1 - 0$ (т.е. подходя к границе изнутри):

$E_1(R_1) = \frac{9}{R_1^2} = \frac{9}{(0.05)^2} = \frac{9}{0.0025} = 3600 \text{ В/м}$

2. Область внутри диэлектрической оболочки ($R_1 \le r \le R_2$)

В этой области находится диэлектрик с проницаемостью $\varepsilon = 2$. Поле ослабляется в $\varepsilon$ раз.

$E_2(r) = \frac{k q}{\varepsilon r^2} = \frac{9 \cdot 10^9 \cdot 10^{-9}}{2 \cdot r^2} = \frac{4.5}{r^2}$

На внутренней границе диэлектрика при $r = R_1$:

$E_2(R_1) = \frac{4.5}{R_1^2} = \frac{4.5}{(0.05)^2} = \frac{4.5}{0.0025} = 1800 \text{ В/м}$

На внешней границе диэлектрика при $r = R_2$:

$E_2(R_2) = \frac{4.5}{R_2^2} = \frac{4.5}{(0.06)^2} = \frac{4.5}{0.0036} = 1250 \text{ В/м}$

На границе $r = R_1$ напряжённость поля скачком уменьшается в $\varepsilon = 2$ раза (с 3600 В/м до 1800 В/м).

3. Область снаружи сферической оболочки ($r > R_2$)

В этой области снова вакуум ($\varepsilon = 1$). Поле определяется так же, как и в первой области.

$E_3(r) = \frac{k q}{r^2} = \frac{9}{r^2}$

На границе с диэлектриком при $r \to R_2 + 0$ (т.е. подходя к границе снаружи):

$E_3(R_2) = \frac{9}{R_2^2} = \frac{9}{(0.06)^2} = \frac{9}{0.0036} = 2500 \text{ В/м}$

На границе $r = R_2$ напряжённость поля скачком увеличивается в $\varepsilon = 2$ раза (с 1250 В/м до 2500 В/м).

График зависимости $E(r)$

График состоит из трёх участков кривой $E \sim 1/r^2$. На границах диэлектрической оболочки ($r=R_1$ и $r=R_2$) наблюдаются разрывы (скачки) напряжённости.

• При $r \in (0, 5 \text{ см})$, $E(r)$ убывает от $\infty$ до 3600 В/м.
• При $r = 5 \text{ см}$, $E$ скачком падает с 3600 В/м до 1800 В/м.
• При $r \in [5 \text{ см}, 6 \text{ см}]$, $E(r)$ убывает от 1800 В/м до 1250 В/м.
• При $r = 6 \text{ см}$, $E$ скачком возрастает с 1250 В/м до 2500 В/м.
• При $r > 6 \text{ см}$, $E(r)$ убывает от 2500 В/м к нулю.

Ответ:

Зависимость напряжённости электрического поля от расстояния $r$ до заряда описывается кусочно-заданной функцией:

$E(r) = \begin{cases} \frac{9}{r^2}, & \text{при } 0 < r < 0.05 \text{ м} \\ \frac{4.5}{r^2}, & \text{при } 0.05 \le r \le 0.06 \text{ м} \\ \frac{9}{r^2}, & \text{при } r > 0.06 \text{ м} \end{cases}$

где $r$ выражено в метрах, а $E$ — в В/м. График функции и ключевые значения напряжённости на границах диэлектрика представлены выше.