Номер 139, страница 22, часть 1 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 1. 10 класс. Механика. Динамика. Законы механики Ньютона. Второй закон Ньютона. Третий закон Ньютона. Масса и сила - номер 139, страница 22.

Условие.

139. [120] С каким ускорением следует опускать на верёвке груз массой 45 кг, чтобы она не оборвалась? Верёвка выдерживает максимальное натяжение 400 Н. Примите $g = 9.8 \text{ м/с}^2$.

Решение.

Дано:

Масса груза: $m = 45$ кг

Максимальное натяжение веревки: $T_{max} = 400$ Н

Ускорение свободного падения: $g = 9.8$ м/с²

Все данные приведены в системе СИ.

Найти:

Ускорение груза: $\text{a}$ - ?

Решение:

На груз, опускаемый на веревке, действуют две силы: сила тяжести $\vec{F_g}$, направленная вертикально вниз, и сила натяжения веревки $\vec{T}$, направленная вертикально вверх. Ускорение груза $\vec{a}$ также направлено вертикально вниз.

Согласно второму закону Ньютона, равнодействующая сил, приложенных к телу, равна произведению массы тела на его ускорение:

$m\vec{a} = \vec{F_g} + \vec{T}$

Выберем ось OY, направленную вертикально вниз, по направлению движения груза. Спроецируем это векторное уравнение на ось OY. Проекция силы тяжести ($F_g = mg$) будет положительной, а проекция силы натяжения ($\text{T}$) — отрицательной. Ускорение $\text{a}$ также будет положительным.

$ma = mg - T$

Из этого уравнения можно выразить силу натяжения веревки:

$T = mg - ma = m(g - a)$

По условию, веревка не должна оборваться, а значит сила натяжения $\text{T}$ не должна превышать максимальное значение $T_{max}$:

$T \le T_{max}$

Чтобы найти, с каким ускорением следует опускать груз, рассмотрим предельный случай, когда натяжение веревки достигает своего максимального значения, но она еще не рвется, то есть $T = T_{max}$. В этом случае ускорение будет минимально возможным для безопасного спуска.

Подставим $T = T_{max}$ в уравнение движения:

$ma = mg - T_{max}$

Отсюда находим искомое ускорение $\text{a}$:

$a = \frac{mg - T_{max}}{m} = g - \frac{T_{max}}{m}$

Подставим числовые значения в формулу:

$a = 9.8 \text{ м/с}^2 - \frac{400 \text{ Н}}{45 \text{ кг}} = 9.8 \text{ м/с}^2 - \frac{80}{9} \text{ м/с}^2 \approx 9.8 - 8.89 \text{ м/с}^2 \approx 0.91 \text{ м/с}^2$

При любом ускорении, равном или большем этого значения, веревка не оборвется, так как сила натяжения будет меньше или равна максимальной.

Ответ: груз следует опускать с ускорением $a \ge 0.91 \text{ м/с}^2$.