Номер 146, страница 23, часть 1 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 1. 10 класс. Механика. Динамика. Законы механики Ньютона. Второй закон Ньютона. Третий закон Ньютона. Масса и сила - номер 146, страница 23.

Условие.

146. [127] Воздушный шар опускается с уско- рением $0,8 \text{ м/с}^2$, направленным вниз. Определите массу балласта, который надо сбросить, чтобы шар начал двигаться с таким же уско- рением, но направленным вверх. Масса шара с балластом $200$ кг. Сопротивление воздуха не учиты- вайте.

Решение.

Дано

Ускорение шара при спуске, $a_1 = 0,8 \, \text{м/с}^2$ (направлено вниз)
Ускорение шара при подъеме, $a_2 = 0,8 \, \text{м/с}^2$ (направлено вверх)
Масса шара с балластом, $M = 200 \, \text{кг}$
Ускорение свободного падения, $g \approx 9,8 \, \text{м/с}^2$
Все данные уже представлены в системе СИ.

Найти:

Массу балласта, которую надо сбросить, $m_б$ - ?

Решение

Рассмотрим две ситуации: до сброса балласта и после. На воздушный шар действуют две основные силы: сила тяжести, направленная вниз, и выталкивающая (архимедова) сила $F_A$, направленная вверх. Сопротивлением воздуха пренебрегаем по условию задачи.

1. Движение шара с балластом (спуск).
На шар действует сила тяжести $F_{т1} = Mg$ и выталкивающая сила $F_A$. Шар движется с ускорением $\text{a}$, направленным вниз. Выберем ось OY, направленную вертикально вверх. Согласно второму закону Ньютона, равнодействующая сил равна произведению массы на ускорение: $F_A - F_{т1} = M \cdot (-a)$ $F_A - Mg = -Ma$ Отсюда можем выразить выталкивающую силу: $F_A = Mg - Ma = M(g - a)$ (1)

2. Движение шара после сброса балласта (подъем).
Пусть масса сброшенного балласта равна $m_б$. Новая масса шара стала $M' = M - m_б$. Сила тяжести, действующая на шар, теперь равна $F_{т2} = M'g = (M - m_б)g$. Выталкивающая сила $F_A$ не изменилась, так как она зависит от объема шара и плотности воздуха, которые остались прежними. Теперь шар движется с ускорением $\text{a}$, направленным вверх. Запишем второй закон Ньютона для этого случая: $F_A - F_{т2} = M'a$ $F_A - (M - m_б)g = (M - m_б)a$ (2)

3. Найдем массу балласта.
Мы получили систему из двух уравнений. Подставим выражение для $F_A$ из уравнения (1) в уравнение (2): $M(g - a) - (M - m_б)g = (M - m_б)a$ Раскроем скобки и преобразуем выражение: $Mg - Ma - Mg + m_бg = Ma - m_бa$ $-Ma + m_бg = Ma - m_бa$ Сгруппируем члены, содержащие $m_б$, в левой части уравнения, а остальные — в правой: $m_бg + m_бa = Ma + Ma$ $m_б(g + a) = 2Ma$ Выразим массу балласта $m_б$: $m_б = \frac{2Ma}{g + a}$

Подставим числовые значения в полученную формулу: $m_б = \frac{2 \cdot 200 \, \text{кг} \cdot 0,8 \, \text{м/с}^2}{9,8 \, \text{м/с}^2 + 0,8 \, \text{м/с}^2} = \frac{320}{10,6} \, \text{кг} \approx 30,19 \, \text{кг}$

Ответ: чтобы шар начал двигаться с ускорением $0,8 \, \text{м/с}^2$ вверх, необходимо сбросить балласт массой примерно 30,2 кг.