Номер 150, страница 23, часть 1 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 1. 10 класс. Механика. Динамика. Законы механики Ньютона. Второй закон Ньютона. Третий закон Ньютона. Масса и сила - номер 150, страница 23.

Условие.

150. [131] Чему равны ускорения грузов массами $m_1 = 3 \text{ кг}$ и $m_2 = 4 \text{ кг}$, а также сила натяжения нити в системе тел, показанной на рисунке 26? Массы блоков и нити не учитывайте.

Рис. 26

Решение.

Дано:

$m_1 = 3$ кг

$m_2 = 4$ кг

Примем ускорение свободного падения $g \approx 9.8$ м/с².

Все данные представлены в системе СИ.

Найти:

$a_1$ — ускорение груза $m_1$

$a_2$ — ускорение груза $m_2$

$\text{T}$ — сила натяжения нити

Решение:

Для решения задачи используем второй закон Ньютона и учтем кинематическую связь между движениями грузов.

1. Составление уравнений движения.

Выберем направление вертикально вниз в качестве положительного для оси OY.

На груз $m_1$ действуют сила тяжести $m_1g$ (вниз) и сила натяжения нити $\text{T}$ (вверх). Уравнение второго закона Ньютона для груза $m_1$ в проекции на ось OY:

$m_1 a_1 = m_1g - T$ (1)

Груз $m_2$ подвешен к подвижному блоку. На систему "груз $m_2$ + подвижный блок" действует сила тяжести $m_2g$ (вниз) и две силы натяжения нити $2T$ (вверх), поскольку нить охватывает блок с двух сторон. Уравнение движения для груза $m_2$:

$m_2 a_2 = m_2g - 2T$ (2)

2. Кинематическая связь ускорений.

Поскольку нить нерастяжима, перемещения грузов связаны. Если груз $m_1$ опускается на расстояние $h_1$, то эта длина нити распределяется между двумя участками, поддерживающими подвижный блок. Поэтому груз $m_2$ поднимается на расстояние $h_2 = h_1 / 2$.

Так как движение равноускоренное, аналогичное соотношение существует и для модулей ускорений: $|a_1| = 2|a_2|$.

Ускорения направлены в противоположные стороны. Если мы предположим, что груз $m_1$ движется вниз ($a_1 > 0$), то груз $m_2$ будет двигаться вверх ($a_2 < 0$). Таким образом, связь в проекциях на ось OY будет: $a_2 = -a_1 / 2$.

3. Решение системы уравнений.

Подставим выражение для $a_2$ в уравнение (2):

$m_2 (-a_1 / 2) = m_2g - 2T$ (3)

Теперь у нас есть система из двух уравнений (1) и (3) с двумя неизвестными, $a_1$ и $\text{T}$.

Из уравнения (1) выразим силу натяжения $\text{T}$:

$T = m_1g - m_1a_1$

Подставим это выражение в уравнение (3):

$-m_2 a_1 / 2 = m_2g - 2(m_1g - m_1a_1)$

$-m_2 a_1 / 2 = m_2g - 2m_1g + 2m_1a_1$

Сгруппируем слагаемые с $a_1$ в правой части, а остальные — в левой:

$2m_1g - m_2g = 2m_1a_1 + m_2a_1 / 2$

$g(2m_1 - m_2) = a_1(2m_1 + m_2 / 2)$

Отсюда выразим $a_1$:

$a_1 = g \frac{2m_1 - m_2}{2m_1 + m_2 / 2} = g \frac{2(2m_1 - m_2)}{4m_1 + m_2}$

Подставим числовые значения:

$a_1 = 9.8 \cdot \frac{2(2 \cdot 3 - 4)}{4 \cdot 3 + 4} = 9.8 \cdot \frac{2(6 - 4)}{12 + 4} = 9.8 \cdot \frac{4}{16} = 9.8 \cdot \frac{1}{4} = 2.45$ м/с².

Так как $a_1 > 0$, наше предположение о направлении движения было верным: груз $m_1$ движется вниз.

Теперь найдем ускорение $a_2$:

$a_2 = -a_1 / 2 = -2.45 / 2 = -1.225$ м/с².

Знак "минус" указывает, что груз $m_2$ движется вверх. Модуль его ускорения $|a_2| = 1.225$ м/с².

Наконец, рассчитаем силу натяжения нити $\text{T}$:

$T = m_1(g - a_1) = 3 \cdot (9.8 - 2.45) = 3 \cdot 7.35 = 22.05$ Н.

Ответ:

ускорение груза массой $m_1$ равно $a_1 = 2.45$ м/с² (направлено вниз);

ускорение груза массой $m_2$ равно $a_2 = 1.225$ м/с² (направлено вверх);

сила натяжения нити $T = 22.05$ Н.