Номер 153, страница 24, часть 1 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 1. 10 класс. Механика. Динамика. Законы механики Ньютона. Второй закон Ньютона. Третий закон Ньютона. Масса и сила - номер 153, страница 24.

Условие.

153. [134] Маленький шарик массой 100 г подвесили на длинной нити к потолку вагона, равномерно движущегося по криволинейному участку пути со скоростью 72 км/ч. Чему равна сила натяжения нити, если радиус кривизны участка пути 200 м?

Решение.

Дано:

$m = 100 \text{ г} = 0.1 \text{ кг}$
$v = 72 \text{ км/ч} = \frac{72 \cdot 1000}{3600} \text{ м/с} = 20 \text{ м/с}$
$R = 200 \text{ м}$
$g \approx 10 \text{ м/с}^2$

Найти:

$\text{T}$

Решение:

Рассмотрим движение шарика в инерциальной системе отсчета, связанной с землей. На шарик действуют две силы: сила тяжести $\vec{F}_g$, направленная вертикально вниз, и сила натяжения нити $\vec{T}$, направленная вдоль нити.

Поскольку вагон движется по криволинейной траектории, шарик также движется по дуге окружности. Согласно второму закону Ньютона, равнодействующая всех сил, действующих на шарик, сообщает ему центростремительное ускорение $\vec{a}_c$.

$\vec{T} + \vec{F}_g = m\vec{a}_c$

Центростремительное ускорение направлено горизонтально к центру кривизны траектории, а его модуль равен $a_c = \frac{v^2}{R}$. Сила тяжести направлена вертикально вниз. Из векторного сложения сил следует, что сила натяжения нити $\vec{T}$ будет иметь две составляющие: вертикальную, которая уравновешивает силу тяжести, и горизонтальную, которая создает центростремительное ускорение.

Введем систему координат: ось OY направим вертикально вверх, а ось OX – горизонтально к центру кривизны пути.

В проекции на ось OY (вертикальную):

$T_y - mg = 0 \implies T_y = mg$

В проекции на ось OX (горизонтальную):

$T_x = ma_c = \frac{mv^2}{R}$

Модуль силы натяжения нити $\text{T}$ можно найти по теореме Пифагора, так как $T_x$ и $T_y$ являются катетами прямоугольного треугольника, а $\text{T}$ – его гипотенузой:

$T = \sqrt{T_x^2 + T_y^2} = \sqrt{(\frac{mv^2}{R})^2 + (mg)^2}$

Выполним вычисления:

Вертикальная составляющая силы натяжения:

$T_y = 0.1 \text{ кг} \cdot 10 \text{ м/с}^2 = 1 \text{ Н}$

Горизонтальная составляющая силы натяжения:

$T_x = \frac{0.1 \text{ кг} \cdot (20 \text{ м/с})^2}{200 \text{ м}} = \frac{0.1 \cdot 400}{200} \text{ Н} = 0.2 \text{ Н}$

Полная сила натяжения нити:

$T = \sqrt{(0.2 \text{ Н})^2 + (1 \text{ Н})^2} = \sqrt{0.04 + 1} \text{ Н} = \sqrt{1.04} \text{ Н} \approx 1.02 \text{ Н}$

Ответ: сила натяжения нити равна примерно 1.02 Н.