Номер 158, страница 25, часть 1 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 1. 10 класс. Механика. Динамика. Законы механики Ньютона. Второй закон Ньютона. Третий закон Ньютона. Масса и сила - номер 158, страница 25.

Условие.

158. [139] В аттракционе «Автомобиль на вертикальной стене» автомобиль движется по внутренней поверхности вертикального цилиндра в горизонтальной плоскости. Какой должна быть скорость $\text{v}$ автомобиля, чтобы он не падал? Коэффициент трения между шинами и поверхностью цилиндра $\mu$, радиус цилиндра $\text{R}$.

Решение.

Дано:

Коэффициент трения: $\mu$
Радиус цилиндра: $\text{R}$

Найти:

Скорость автомобиля $\text{v}$.

Решение:

На автомобиль, движущийся по внутренней поверхности вертикального цилиндра, действуют три силы:
1. Сила тяжести $F_g = mg$, направленная вертикально вниз.
2. Сила реакции опоры $\text{N}$ со стороны стенки цилиндра, направленная перпендикулярно стенке, то есть горизонтально к центру окружности.
3. Сила трения $F_{тр}$, действующая вдоль стенки и направленная вертикально вверх, препятствуя соскальзыванию автомобиля.

Движение автомобиля происходит по окружности в горизонтальной плоскости. Согласно второму закону Ньютона, равнодействующая сил, действующих на автомобиль в горизонтальном направлении, сообщает ему центростремительное ускорение $a_ц$. В горизонтальном направлении действует только сила реакции опоры $\text{N}$.

$N = ma_ц$

Центростремительное ускорение определяется формулой $a_ц = \frac{v^2}{R}$, где $\text{v}$ – скорость автомобиля, а $\text{R}$ – радиус цилиндра.

Следовательно, сила реакции опоры равна:
$N = m\frac{v^2}{R}$

Для того чтобы автомобиль не соскальзывал вниз, необходимо, чтобы сила трения, направленная вверх, была как минимум равна силе тяжести, направленной вниз. Предельный случай, когда автомобиль находится на грани соскальзывания, соответствует равенству максимальной силы трения покоя и силы тяжести.

Условие, при котором автомобиль не падает:
$F_{тр} \ge F_g$

Максимальное значение силы трения покоя $F_{тр.макс}$ пропорционально силе реакции опоры:
$F_{тр.макс} = \mu N$

Таким образом, условие отсутствия соскальзывания можно записать в виде:
$\mu N \ge mg$

Теперь подставим в это неравенство выражение для силы реакции опоры $\text{N}$:
$\mu \left(m \frac{v^2}{R}\right) \ge mg$

Сократим массу $\text{m}$ в обеих частях неравенства:
$\mu \frac{v^2}{R} \ge g$

Выразим скорость $\text{v}$:
$v^2 \ge \frac{gR}{\mu}$
$v \ge \sqrt{\frac{gR}{\mu}}$

Это означает, что для предотвращения падения скорость автомобиля должна быть не меньше, чем $\sqrt{\frac{gR}{\mu}}$.

Ответ: Скорость автомобиля $\text{v}$ должна удовлетворять условию $v \ge \sqrt{\frac{gR}{\mu}}$.