Номер 163, страница 25, часть 1 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 1. 10 класс. Механика. Динамика. Законы механики Ньютона. Геоцентрическая система отсчёта - номер 163, страница 25.

Условие.

163. H Запишите уравнение траектории тела, движущегося вдоль горизонтальной прямой с постоянной скоростью $\text{v}$, относительно тела, падающего с высоты $\text{h}$. В начальный момент времени тела находились на одной вертикальной прямой.

Решение.

Дано:

Тело 1: движется горизонтально с постоянной скоростью $\text{v}$.

Тело 2: падает с высоты $\text{h}$ (начальная скорость равна нулю).

В начальный момент времени $t=0$ оба тела находятся на одной вертикальной прямой.

Найти:

Уравнение траектории первого тела относительно второго, то есть зависимость $y(x)$ в системе отсчета, связанной со вторым телом.

Решение:

Введем неподвижную систему отсчета, связанную с Землей. Ось $OX$ направим горизонтально в сторону движения первого тела, а ось $OY$ — вертикально вверх. Начало координат $(0, 0)$ поместим на земле под начальным положением тел.

Запишем законы движения для каждого тела в зависимости от времени $\text{t}$.

Для первого тела, движущегося равномерно и прямолинейно вдоль оси $OX$ из начального положения $(0,0)$:

$x_1(t) = vt$

$y_1(t) = 0$

Для второго тела, свободно падающего с высоты $\text{h}$ из начального положения $(0,h)$:

$x_2(t) = 0$

$y_2(t) = h - \frac{gt^2}{2}$

где $\text{g}$ — ускорение свободного падения.

Теперь найдем координаты первого тела в системе отсчета, связанной со вторым телом. Обозначим их $x_{отн}$ и $y_{отн}$. Они равны разности соответствующих координат первого и второго тел:

$x_{отн}(t) = x_1(t) - x_2(t) = vt - 0 = vt$

$y_{отн}(t) = y_1(t) - y_2(t) = 0 - \left(h - \frac{gt^2}{2}\right) = \frac{gt^2}{2} - h$

Чтобы получить уравнение траектории $y_{отн}(x_{отн})$, необходимо исключить из этих уравнений параметр времени $\text{t}$.

Из уравнения для $x_{отн}$ выразим время:

$t = \frac{x_{отн}}{v}$

Подставим это выражение в уравнение для $y_{отн}$:

$y_{отн} = \frac{g}{2}\left(\frac{x_{отн}}{v}\right)^2 - h$

Упростив, получаем искомое уравнение траектории (для удобства уберем индексы "отн" и будем использовать переменные $\text{x}$ и $\text{y}$ для относительных координат):

$y = \frac{g}{2v^2}x^2 - h$

Это уравнение параболы, ветви которой направлены вверх.

Ответ: $y = \frac{g}{2v^2}x^2 - h$.