Номер 170, страница 26, часть 1 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 1. 10 класс. Механика. Динамика. Силы в механике. Гравитационные силы. Закон всемирного тяготения. Первая космическая скорость - номер 170, страница 26.

Условие.

170. [146] Определите скорость спутника Земли при движении его по орбите, радиус которой равен 1,5 радиуса Земли.

Решение.

Дано:

$r = 1.5 R_З$
Гравитационная постоянная $G \approx 6.67 \cdot 10^{-11} \text{ Н} \cdot \text{м}^2/\text{кг}^2$
Масса Земли $M_З \approx 6 \cdot 10^{24} \text{ кг}$
Радиус Земли $R_З \approx 6400 \text{ км}$
Ускорение свободного падения у поверхности Земли $g \approx 9.8 \text{ м/с}^2$

Перевод в систему СИ:
$R_З = 6400 \text{ км} = 6.4 \cdot 10^6 \text{ м}$

Найти:

$\text{v}$ — скорость спутника.

Решение:

Спутник движется по круговой орбите под действием силы всемирного тяготения, которая сообщает ему центростремительное ускорение. Согласно второму закону Ньютона:

$F_g = F_ц$

где $F_g$ — сила гравитационного притяжения, а $F_ц$ — центростремительная сила.

$G \frac{M_З m}{r^2} = \frac{m v^2}{r}$

Здесь $\text{G}$ — гравитационная постоянная, $M_З$ — масса Земли, $\text{m}$ — масса спутника, $\text{r}$ — радиус орбиты, $\text{v}$ — скорость спутника. Масса спутника $\text{m}$ сокращается:

$G \frac{M_З}{r^2} = \frac{v^2}{r}$

Выразим скорость $\text{v}$:

$v^2 = G \frac{M_З}{r}$

$v = \sqrt{G \frac{M_З}{r}}$

Мы также знаем, что ускорение свободного падения на поверхности Земли $\text{g}$ определяется как $g = G \frac{M_З}{R_З^2}$. Отсюда можно выразить произведение $G M_З = g R_З^2$. Подставим это в формулу для скорости:

$v = \sqrt{\frac{g R_З^2}{r}}$

По условию задачи, радиус орбиты спутника $r = 1.5 R_З$. Подставим это значение:

$v = \sqrt{\frac{g R_З^2}{1.5 R_З}} = \sqrt{\frac{g R_З}{1.5}}$

Теперь подставим числовые значения и вычислим скорость:

$v = \sqrt{\frac{9.8 \text{ м/с}^2 \cdot 6.4 \cdot 10^6 \text{ м}}{1.5}} = \sqrt{\frac{62.72 \cdot 10^6 \text{ м}^2/\text{с}^2}{1.5}} \approx \sqrt{41.81 \cdot 10^6 \text{ м}^2/\text{с}^2}$

$v \approx 6466 \text{ м/с} \approx 6.5 \text{ км/с}$

Ответ: скорость спутника Земли на данной орбите составляет примерно $6.5 \text{ км/с}$.