Номер 177, страница 27, часть 1 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 1. 10 класс. Механика. Динамика. Силы в механике. Гравитационные силы. Сила тяжести и вес. Невесомость - номер 177, страница 27.

Условие.

177. [153] Сила тяжести, действующая на тело на высоте $\text{h}$ над поверхностью планеты радиусом $\text{R}$ в районе полюса, равна весу этого же тела на поверхности планеты на экваторе. Ускорение свободного падения у поверхности на полюсе $\text{g}$. Определите период вращения планеты вокруг своей оси. Планету считайте однородным шаром.

Решение.

Дано:

$\text{h}$ - высота над поверхностью планеты в районе полюса

$\text{R}$ - радиус планеты

$\text{g}$ - ускорение свободного падения у поверхности на полюсе

Сила тяжести на высоте $\text{h}$ на полюсе равна весу тела на экваторе.

Найти:

$\text{T}$ - период вращения планеты.

Решение:

Обозначим массу тела как $\text{m}$, массу планеты как $\text{M}$, а гравитационную постоянную как $\text{G}$.

1. Сила тяжести, действующая на тело на высоте $\text{h}$ над полюсом, является силой гравитационного притяжения. Вращение планеты не создает центробежной силы на полюсах. Расстояние от тела до центра планеты составляет $R+h$.

$F_{g,h} = G \frac{M m}{(R+h)^2}$

2. Ускорение свободного падения $\text{g}$ у поверхности на полюсе определяется силой тяжести на поверхности. На полюсе $F_{g,0} = m g$. По закону всемирного тяготения, $F_{g,0} = G \frac{M m}{R^2}$. Приравнивая эти выражения, находим связь между $\text{g}$ и $\text{M}$:

$m g = G \frac{M m}{R^2} \implies g = \frac{GM}{R^2}$

Отсюда можно выразить произведение $GM = g R^2$. Подставим это в формулу для силы тяжести на высоте $\text{h}$:

$F_{g,h} = \frac{g R^2 m}{(R+h)^2} = m g \frac{R^2}{(R+h)^2}$

3. Вес тела $P_{eq}$ на экваторе — это сила, с которой тело давит на опору. На экваторе на тело действует гравитационная сила $F_{grav} = G \frac{M m}{R^2} = m g$, направленная к центру, и сила реакции опоры $\text{N}$, направленная от центра. Вращение планеты создает центростремительное ускорение $a_c = \omega^2 R$, где $\omega$ — угловая скорость вращения. Согласно второму закону Ньютона, равнодействующая сил равна $m a_c$:

$F_{grav} - N = m a_c$

$m g - N = m \omega^2 R$

Вес тела по величине равен силе реакции опоры: $P_{eq} = N$.

$P_{eq} = m g - m \omega^2 R = m(g - \omega^2 R)$

4. Согласно условию задачи, приравниваем силу тяжести на высоте $\text{h}$ на полюсе и вес на экваторе:

$F_{g,h} = P_{eq}$

$m g \frac{R^2}{(R+h)^2} = m(g - \omega^2 R)$

Сокращаем массу тела $\text{m}$:

$g \frac{R^2}{(R+h)^2} = g - \omega^2 R$

5. Из полученного уравнения выразим $\omega^2$:

$\omega^2 R = g - g \frac{R^2}{(R+h)^2} = g \left(1 - \frac{R^2}{(R+h)^2}\right)$

$\omega^2 R = g \left(\frac{(R+h)^2 - R^2}{(R+h)^2}\right) = g \frac{R^2 + 2Rh + h^2 - R^2}{(R+h)^2}$

$\omega^2 R = g \frac{h(2R+h)}{(R+h)^2}$

$\omega^2 = \frac{g h(2R+h)}{R(R+h)^2}$

6. Период вращения $\text{T}$ связан с угловой скоростью формулой $\omega = \frac{2\pi}{T}$, откуда $\omega^2 = \frac{4\pi^2}{T^2}$. Приравняем выражения для $\omega^2$:

$\frac{4\pi^2}{T^2} = \frac{g h(2R+h)}{R(R+h)^2}$

Теперь выразим $\text{T}$:

$T^2 = \frac{4\pi^2 R(R+h)^2}{g h(2R+h)}$

$T = \sqrt{\frac{4\pi^2 R(R+h)^2}{g h(2R+h)}} = 2\pi(R+h)\sqrt{\frac{R}{gh(2R+h)}}$

Ответ: $T = 2\pi(R+h)\sqrt{\frac{R}{gh(2R+h)}}$