Номер 178, страница 27, часть 1 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 1. 10 класс. Механика. Динамика. Силы в механике. Гравитационные силы. Сила тяжести и вес. Невесомость - номер 178, страница 27.

Условие.

178. [154] Вес тела на экваторе составляет $0.97$ веса этого тела на полюсе. Планета представляет собой однородный шар плотностью $2.5 \cdot 10^3 \text{ кг/м}^3$. Определите период вращения планеты вокруг своей оси.

Решение.

Дано:

Отношение веса тела на экваторе к весу на полюсе: $\frac{P_э}{P_п} = 0,97$
Плотность планеты: $\rh°= 2,5 \cdot 10^3 \text{ кг/м}^3$
Гравитационная постоянная: $G \approx 6,67 \cdot 10^{-11} \text{ Н} \cdot \text{м}^2/\text{кг}^2$

Найти:

Период вращения планеты $\text{T}$.

Решение:

Вес тела на полюсе $P_п$ равен силе гравитационного притяжения, так как на полюсе тело не испытывает действия центробежной силы инерции (или, в инерциальной системе отсчета, не имеет центростремительного ускорения, связанного с вращением планеты):

$P_п = F_г = G \frac{M m}{R^2}$

где $\text{m}$ - масса тела, $\text{M}$ - масса планеты, $\text{R}$ - радиус планеты.

На экваторе вес тела $P_э$ уменьшается за счет вращения планеты. Согласно второму закону Ньютона, разность между силой гравитационного притяжения $F_г$ и весом тела $P_э$ (который равен силе реакции опоры) сообщает телу центростремительное ускорение $a_ц$:

$F_г - P_э = m a_ц$

Центростремительное ускорение на экваторе равно $a_ц = \omega^2 R$, где $\omega$ - угловая скорость вращения планеты. Поскольку $F_г = P_п$, уравнение можно переписать как:

$P_п - P_э = m \omega^2 R$

Из условия задачи известно, что $P_э = 0,97 P_п$. Подставим это соотношение в уравнение:

$P_п - 0,97 P_п = m \omega^2 R$

$0,03 P_п = m \omega^2 R$

Теперь подставим выражение для $P_п$:

$0,03 \left( G \frac{M m}{R^2} \right) = m \omega^2 R$

Масса тела $\text{m}$ сокращается:

$0,03 G \frac{M}{R^2} = \omega^2 R$

Массу планеты $\text{M}$, считая её однородным шаром, выразим через её плотность $\rho$ и объём $V = \frac{4}{3}\pi R^3$:

$M = \rh°V = \rh°\frac{4}{3}\pi R^3$

Подставим это выражение для массы в наше уравнение:

$0,03 G \frac{\rh°\frac{4}{3}\pi R^3}{R^2} = \omega^2 R$

После сокращения $R^2$ в левой части получаем:

$0,03 G \rh°\frac{4}{3}\pi R = \omega^2 R$

Радиус планеты $\text{R}$ также сокращается. Это означает, что период вращения не зависит от размера планеты, а только от её плотности.

$\omega^2 = 0,03 \cdot \frac{4}{3} \pi G \rh°= 0,01 \cdot 4 \pi G \rh°= 0,04 \pi G \rho$

Угловая скорость $\omega$ связана с периодом вращения $\text{T}$ как $\omega = \frac{2\pi}{T}$. Следовательно, $\omega^2 = \frac{4\pi^2}{T^2}$.

$\frac{4\pi^2}{T^2} = 0,04 \pi G \rho$

Выразим из этого уравнения период $\text{T}$:

$T^2 = \frac{4\pi^2}{0,04 \pi G \rho} = \frac{100\pi}{G \rho}$

$T = \sqrt{\frac{100\pi}{G \rho}} = 10 \sqrt{\frac{\pi}{G \rho}}$

Подставим числовые значения и произведем расчет:

$T = 10 \sqrt{\frac{3,14159}{6,67 \cdot 10^{-11} \cdot 2,5 \cdot 10^3}} = 10 \sqrt{\frac{3,14159}{1,6675 \cdot 10^{-7}}} \approx 10 \sqrt{1,884 \cdot 10^7} \approx 10 \cdot 4340 \approx 43400 \text{ с}$

Учитывая, что исходные данные имеют две значащие цифры, ответ следует округлить соответствующим образом.

$T \approx 4,3 \cdot 10^4 \text{ с}$ (что составляет примерно 12 часов).

Ответ: период вращения планеты составляет примерно $4,3 \cdot 10^4 \text{ с}$.