Номер 185, страница 28, часть 1 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 1. 10 класс. Механика. Динамика. Силы упругости. Деформация и сила упругости. Закон Гука - номер 185, страница 28.

Условие.

185 [161] К потолку лифта на двух пружинах, жёсткости которых $k_1 = 2 \cdot 10^3$ Н/м и $k_2 = 10^3$ Н/м, подвешены два тела массами $m_1 = 1$ кг и $m_2 = 2$ кг (рис. 35). Лифт движется вверх с ускорением $a = 2$ м/с$^2$, сначала направленным вверх, а в конце пути направленным вниз. Определите деформации пружин в обоих случаях. Массы пружин не учитывайте.

Решение.

Дано:

$k_1 = 2 \cdot 10^3$ Н/м

$k_2 = 10^3$ Н/м

$m_1 = 1$ кг

$m_2 = 2$ кг

$a = 2$ м/с²

Примем ускорение свободного падения $g \approx 10$ м/с².

Все данные представлены в системе СИ.

Найти:

$\Delta x_1$, $\Delta x_2$ — деформации пружин для двух случаев направления ускорения.

Решение:

Для решения задачи применим второй закон Ньютона. Выберем инерциальную систему отсчета, связанную с Землей, и направим ось OY вертикально вверх. Деформации пружин (удлинения) обозначим как $\Delta x_1$ и $\Delta x_2$. Силы упругости, возникающие в пружинах, равны $F_{упр1} = k_1 \Delta x_1$ и $F_{упр2} = k_2 \Delta x_2$.

Рассмотрим силы, действующие на каждое тело:

• На тело $m_2$ действуют сила тяжести $m_2g$ (вниз) и сила упругости второй пружины $F_{упр2}$ (вверх).
• На тело $m_1$ действуют сила тяжести $m_1g$ (вниз), сила упругости первой пружины $F_{упр1}$ (вверх) и сила упругости второй пружины $F_{упр2}$ (вниз, по третьему закону Ньютона).

Рассмотрим два случая движения лифта.

1. Ускорение направлено вверх

Проекция ускорения на ось OY положительна ($a_y = a$).

Запишем второй закон Ньютона для тела $m_2$:

$F_{упр2} - m_2g = m_2a$

$k_2 \Delta x_2 = m_2(g+a)$

Отсюда находим деформацию второй пружины:

$\Delta x_2 = \frac{m_2(g+a)}{k_2} = \frac{2 \cdot (10+2)}{1000} = \frac{24}{1000} = 0.024$ м = 2.4 см.

Запишем второй закон Ньютона для тела $m_1$:

$F_{упр1} - F_{упр2} - m_1g = m_1a$

$k_1 \Delta x_1 - k_2 \Delta x_2 - m_1g = m_1a$

$k_1 \Delta x_1 = m_1(g+a) + k_2 \Delta x_2$

Подставим ранее найденное выражение $k_2 \Delta x_2 = m_2(g+a)$:

$k_1 \Delta x_1 = m_1(g+a) + m_2(g+a) = (m_1+m_2)(g+a)$

Отсюда находим деформацию первой пружины:

$\Delta x_1 = \frac{(m_1+m_2)(g+a)}{k_1} = \frac{(1+2)(10+2)}{2000} = \frac{3 \cdot 12}{2000} = \frac{36}{2000} = 0.018$ м = 1.8 см.

Ответ: при ускорении, направленном вверх, деформация первой пружины $\Delta x_1 = 1.8$ см, деформация второй пружины $\Delta x_2 = 2.4$ см.

2. Ускорение направлено вниз

Проекция ускорения на ось OY отрицательна ($a_y = -a$). Уравнения движения принимают следующий вид.

Для тела $m_2$:

$F_{упр2} - m_2g = -m_2a$

$k_2 \Delta x_2 = m_2(g-a)$

Находим деформацию второй пружины:

$\Delta x_2 = \frac{m_2(g-a)}{k_2} = \frac{2 \cdot (10-2)}{1000} = \frac{16}{1000} = 0.016$ м = 1.6 см.

Для тела $m_1$:

$F_{упр1} - F_{упр2} - m_1g = -m_1a$

$k_1 \Delta x_1 = m_1(g-a) + k_2 \Delta x_2$

Подставим выражение $k_2 \Delta x_2 = m_2(g-a)$:

$k_1 \Delta x_1 = m_1(g-a) + m_2(g-a) = (m_1+m_2)(g-a)$

Находим деформацию первой пружины:

$\Delta x_1 = \frac{(m_1+m_2)(g-a)}{k_1} = \frac{(1+2)(10-2)}{2000} = \frac{3 \cdot 8}{2000} = \frac{24}{2000} = 0.012$ м = 1.2 см.

Ответ: при ускорении, направленном вниз, деформация первой пружины $\Delta x_1 = 1.2$ см, деформация второй пружины $\Delta x_2 = 1.6$ см.