Номер 191, страница 29, часть 1 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 1. 10 класс. Механика. Динамика. Силы трения. Силы трения и силы сопротивления - номер 191, страница 29.

Условие.

191. [167] Брусок массой $\text{m}$ находится на наклонной плоскости, составляющей с горизонтом угол $\alpha$. Определите силу, с которой брусок действует на наклонную плоскость, если:

1) брусок неподвижен;

2) брусок движется вниз с ускорением $\text{a}$.

Решение.

Дано:

Масса бруска: $\text{m}$
Угол наклона плоскости: $\alpha$
1) Ускорение бруска: $a_1 = 0$
2) Ускорение бруска: $a_2 = a$ (направлено вниз по наклонной плоскости)

Найти:

Силу $\text{P}$, с которой брусок действует на наклонную плоскость, для случаев 1 и 2.

Решение:

Сила, с которой брусок действует на наклонную плоскость ($\vec{P}$), по третьему закону Ньютона равна по модулю и противоположна по направлению силе, с которой наклонная плоскость действует на брусок ($\vec{R}$). Сила $\vec{R}$ является равнодействующей силы нормальной реакции $\vec{N}$ и силы трения $\vec{F}_{тр}$.

$\vec{P} = -\vec{R}$

Запишем второй закон Ньютона для бруска в векторной форме. На брусок действуют сила тяжести $m\vec{g}$ и суммарная сила со стороны плоскости $\vec{R}$.

$m\vec{a} = m\vec{g} + \vec{R}$

Отсюда выразим силу $\vec{R}$, с которой плоскость действует на брусок:

$\vec{R} = m\vec{a} - m\vec{g} = m(\vec{a} - \vec{g})$

Тогда сила, с которой брусок действует на плоскость, равна:

$\vec{P} = -\vec{R} = -m(\vec{a} - \vec{g}) = m(\vec{g} - \vec{a})$

Найдём модуль этой силы $P = |\vec{P}| = |m(\vec{g} - \vec{a})| = m|\vec{g} - \vec{a}|$. Модуль разности векторов находится по теореме косинусов:

$|\vec{g} - \vec{a}| = \sqrt{g^2 + a^2 - 2ga\cos\theta}$

где $\theta$ — угол между векторами $\vec{g}$ и $\vec{a}$. Вектор $\vec{g}$ направлен вертикально вниз. Вектор $\vec{a}$ направлен вдоль наклонной плоскости вниз. Угол между вертикалью и направлением вдоль наклонной плоскости равен $90^\circ - \alpha$. Следовательно, $\theta = 90^\circ - \alpha$.

$\cos\theta = \cos(90^\circ - \alpha) = \sin\alpha$

Подставив это выражение в формулу для модуля, получим общее выражение для силы $\text{P}$:

$P = m\sqrt{g^2 + a^2 - 2ag\sin\alpha}$

Теперь рассмотрим два заданных случая.

1) брусок неподвижен

В этом случае ускорение бруска равно нулю, $a = 0$. Подставим это значение в полученную общую формулу:

$P = m\sqrt{g^2 + 0^2 - 2 \cdot 0 \cdot g\sin\alpha} = m\sqrt{g^2} = mg$

В состоянии покоя сила, с которой брусок действует на плоскость, равна силе тяжести, действующей на брусок, и направлена вертикально вниз.

Ответ: $P = mg$.

2) брусок движется вниз с ускорением $\text{a}$

В этом случае ускорение бруска равно $\text{a}$ и направлено вниз по наклонной плоскости. Используем полученную ранее общую формулу для модуля силы $\text{P}$:

$P = m\sqrt{g^2 + a^2 - 2ag\sin\alpha}$

Эта формула и является ответом для второго случая.

Ответ: $P = m\sqrt{g^2 + a^2 - 2ag\sin\alpha}$.