Номер 192, страница 29, часть 1 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 1. 10 класс. Механика. Динамика. Силы трения. Силы трения и силы сопротивления - номер 192, страница 29.

Условие.

192. [168] Брусок равномерно движется вниз по наклонной плоскости, образующей с горизонтом угол $15^\circ$. Определите ускорение, с которым будет двигаться брусок, если угол наклона плоскости увеличится до $45^\circ$.

Решение.

Дано:

Движение в первом случае: равномерное ($a_1 = 0 \text{ м/с}^2$)
Угол наклона в первом случае: $\alpha_1 = 15°$
Угол наклона во втором случае: $\alpha_2 = 45°$
Ускорение свободного падения: $g \approx 9.8 \text{ м/с}^2$

Найти:

Ускорение во втором случае $a_2$ - ?

Решение

Рассмотрим движение бруска в первом случае, когда он движется равномерно ($a_1=0$) по наклонной плоскости с углом наклона $\alpha_1 = 15°$. На брусок действуют сила тяжести $m\vec{g}$, сила нормальной реакции опоры $\vec{N}_1$ и сила трения скольжения $\vec{F}_{тр1}$.

Выберем систему координат, в которой ось $Ox$ направлена вдоль наклонной плоскости вниз, а ось $Oy$ — перпендикулярно ей. Запишем второй закон Ньютона в проекциях на оси:

Проекция на ось $Oy$: $N_1 - mg \cos(\alpha_1) = 0$, откуда сила нормальной реакции $N_1 = mg \cos(\alpha_1)$.

Проекция на ось $Ox$: $mg \sin(\alpha_1) - F_{тр1} = ma_1 = 0$.

Сила трения скольжения определяется как $F_{тр1} = \mu N_1$, где $\mu$ — коэффициент трения скольжения. Подставив выражение для $N_1$, получим $F_{тр1} = \mu mg \cos(\alpha_1)$.

Подставим это в уравнение для оси $Ox$: $mg \sin(\alpha_1) - \mu mg \cos(\alpha_1) = 0$.

Отсюда мы можем найти коэффициент трения, который зависит только от материалов соприкасающихся поверхностей и не зависит от угла наклона:

$\mu = \frac{mg \sin(\alpha_1)}{mg \cos(\alpha_1)} = \tan(\alpha_1)$.

Теперь рассмотрим второй случай, когда угол наклона плоскости увеличился до $\alpha_2 = 45°$. Брусок будет двигаться с ускорением $a_2$. Второй закон Ньютона в проекциях на те же оси для этого случая:

Проекция на ось $Oy$: $N_2 - mg \cos(\alpha_2) = 0$, откуда $N_2 = mg \cos(\alpha_2)$.

Проекция на ось $Ox$: $mg \sin(\alpha_2) - F_{тр2} = ma_2$.

Сила трения $F_{тр2} = \mu N_2 = \mu mg \cos(\alpha_2)$.

Подставим силу трения в уравнение для оси $Ox$: $mg \sin(\alpha_2) - \mu mg \cos(\alpha_2) = ma_2$.

Сократив массу $\text{m}$, получим выражение для ускорения:

$a_2 = g(\sin(\alpha_2) - \mu \cos(\alpha_2))$.

Теперь подставим найденное ранее выражение для коэффициента трения $\mu = \tan(\alpha_1)$:

$a_2 = g(\sin(\alpha_2) - \tan(\alpha_1) \cos(\alpha_2))$.

Для удобства вычислений преобразуем это выражение, используя тригонометрические тождества:

$a_2 = g \left( \sin(\alpha_2) - \frac{\sin(\alpha_1)}{\cos(\alpha_1)} \cos(\alpha_2) \right) = g \frac{\sin(\alpha_2)\cos(\alpha_1) - \cos(\alpha_2)\sin(\alpha_1)}{\cos(\alpha_1)}$.

Используя формулу синуса разности углов $\sin(\alpha_2 - \alpha_1) = \sin(\alpha_2)\cos(\alpha_1) - \cos(\alpha_2)\sin(\alpha_1)$, получаем окончательную формулу для расчета:

$a_2 = g \frac{\sin(\alpha_2 - \alpha_1)}{\cos(\alpha_1)}$.

Подставим числовые значения $\alpha_1 = 15°$, $\alpha_2 = 45°$ и $g \approx 9.8 \text{ м/с}^2$:

$a_2 = 9.8 \cdot \frac{\sin(45° - 15°)}{\cos(15°)} = 9.8 \cdot \frac{\sin(30°)}{\cos(15°)}$.

Используя значения тригонометрических функций $\sin(30°) = 0.5$ и $\cos(15°) \approx 0.966$, находим ускорение:

$a_2 \approx 9.8 \cdot \frac{0.5}{0.966} \approx 5.072 \text{ м/с}^2$.

Округлив результат до двух значащих цифр, получаем окончательный ответ.

Ответ: $a_2 \approx 5.1 \text{ м/с}^2$.