Номер 194, страница 29, часть 1 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 1. 10 класс. Механика. Динамика. Силы трения. Силы трения и силы сопротивления - номер 194, страница 29.

Условие.

194. [170] Наклонная плоскость составляет с горизонтом угол $30^\circ$. Вверх по этой плоскости с начальной скоростью начинает двигаться тело, которое, достигнув наибольшей высоты, соскальзывает. Время спуска в $1.5$ раза больше времени подъёма. Определите коэффициент трения тела о плоскость.

Решение.

Дано:

Угол наклона плоскости, $ \alpha = 30° $
Отношение времени спуска ко времени подъема, $ k = \frac{t_{спуска}}{t_{подъема}} = 1.5 $

Найти:

Коэффициент трения, $ \mu $

Решение:

Рассмотрим движение тела по наклонной плоскости в двух случаях: при подъеме и при спуске. Введем систему координат, в которой ось $Ox$ направлена вверх вдоль наклонной плоскости, а ось $Oy$ — перпендикулярно ей.

1. Движение вверх (подъем)
На тело действуют: сила тяжести $mg$, сила нормальной реакции опоры $\text{N}$ и сила трения скольжения $F_{тр}$. Сила тяжести раскладывается на две компоненты: $mg \sin(\alpha)$, направленную вниз вдоль плоскости, и $mg \cos(\alpha)$, перпендикулярную плоскости. Сила трения при подъеме также направлена вниз вдоль плоскости.

Согласно второму закону Ньютона, запишем уравнения движения в проекциях на оси координат:

Проекция на ось $Oy$: $N - mg \cos(\alpha) = 0 \implies N = mg \cos(\alpha)$

Отсюда сила трения: $F_{тр} = \mu N = \mu mg \cos(\alpha)$

Проекция на ось $Ox$: $-mg \sin(\alpha) - F_{тр} = ma_{подъема}$, где $a_{подъема}$ — ускорение тела при подъеме.

$-mg \sin(\alpha) - \mu mg \cos(\alpha) = ma_{подъема}$

$a_{подъема} = -g(\sin(\alpha) + \mu \cos(\alpha))$

Знак "минус" указывает, что ускорение направлено против движения (торможение). Модуль ускорения при подъеме равен: $ a_1 = |a_{подъема}| = g(\sin(\alpha) + \mu \cos(\alpha)) $.

Путь $\text{S}$, пройденный телом до остановки за время $t_{подъема}$, можно найти из формулы для равноускоренного движения (начальная скорость $v_0$, конечная 0): $S = v_0 t_{подъема} - \frac{a_1 t_{подъема}^2}{2}$. Так как $v_0 = a_1 t_{подъема}$, то $S = \frac{a_1 t_{подъема}^2}{2}$.

2. Движение вниз (спуск)
При спуске сила трения $F_{тр}$ направлена вверх вдоль наклонной плоскости, противодействуя движению.

Проекция на ось $Ox$: $-mg \sin(\alpha) + F_{тр} = ma_{спуска}$, где $a_{спуска}$ — ускорение тела при спуске.

$-mg \sin(\alpha) + \mu mg \cos(\alpha) = ma_{спуска}$

$a_{спуска} = -g(\sin(\alpha) - \mu \cos(\alpha))$

Знак "минус" указывает, что ускорение направлено вниз по склону. Модуль ускорения при спуске равен: $ a_2 = |a_{спуска}| = g(\sin(\alpha) - \mu \cos(\alpha)) $.

Тело проходит тот же путь $\text{S}$ за время $t_{спуска}$, начиная движение из состояния покоя: $S = \frac{a_2 t_{спуска}^2}{2}$.

3. Нахождение коэффициента трения
Поскольку путь, пройденный при подъеме и спуске, одинаков, мы можем приравнять выражения для $\text{S}$:

$\frac{a_1 t_{подъема}^2}{2} = \frac{a_2 t_{спуска}^2}{2}$

$a_1 t_{подъема}^2 = a_2 t_{спуска}^2$

По условию $t_{спуска} = 1.5 \cdot t_{подъема}$. Подставим это соотношение:

$a_1 t_{подъема}^2 = a_2 (1.5 \cdot t_{подъема})^2$

$a_1 = a_2 \cdot 1.5^2 = 2.25 \cdot a_2$

Теперь подставим выражения для модулей ускорений:

$g(\sin(\alpha) + \mu \cos(\alpha)) = 2.25 \cdot g(\sin(\alpha) - \mu \cos(\alpha))$

Сократим на $\text{g}$:

$\sin(\alpha) + \mu \cos(\alpha) = 2.25(\sin(\alpha) - \mu \cos(\alpha))$

$\sin(\alpha) + \mu \cos(\alpha) = 2.25 \sin(\alpha) - 2.25 \mu \cos(\alpha)$

Сгруппируем слагаемые с $\mu$ в одной части уравнения, а остальные — в другой:

$\mu \cos(\alpha) + 2.25 \mu \cos(\alpha) = 2.25 \sin(\alpha) - \sin(\alpha)$

$3.25 \mu \cos(\alpha) = 1.25 \sin(\alpha)$

Выразим $\mu$:

$\mu = \frac{1.25 \sin(\alpha)}{3.25 \cos(\alpha)} = \frac{1.25}{3.25} \tan(\alpha) = \frac{125}{325} \tan(\alpha) = \frac{5}{13} \tan(\alpha)$

Подставим значение угла $\alpha = 30°$:

$\tan(30°) = \frac{\sqrt{3}}{3}$

$\mu = \frac{5}{13} \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{5\sqrt{3}}{39}$

Вычислим приближенное значение:

$\mu \approx \frac{5 \cdot 1.732}{39} \approx \frac{8.66}{39} \approx 0.222$

Ответ: Коэффициент трения тела о плоскость равен $ \mu = \frac{5\sqrt{3}}{39} \approx 0.222 $.