Номер 198, страница 30, часть 1 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 1. 10 класс. Механика. Динамика. Силы трения. Силы трения и силы сопротивления - номер 198, страница 30.

Условие.

198. [174] Два одинаковых бруска массой 100 г каждый соединены нерастяжимой нитью, перекинутой через блок, установленный на вершине наклонной плоскости (рис. 40). Плоскость образует с горизонтом угол $30^\circ$. Коэффициент трения между плоскостью и бруском 0,1. Определите ускорение тел и силу, действующую со стороны нити на блок.

Рис. 40

Решение.

Дано:

$m_1 = m_2 = m = 100 \text{ г} = 0.1 \text{ кг}$

$\alpha = 30^\circ$

$\mu = 0.1$

$g \approx 9.8 \text{ м/с}^2$

Найти:

$\text{a}$ - ускорение тел

$F_{\text{блок}}$ - сила, действующая со стороны нити на блок

Решение

Рассмотрим силы, действующие на каждый из брусков. На брусок, находящийся на наклонной плоскости (брусок 1), действуют: сила тяжести $mg$, сила реакции опоры $\text{N}$, сила натяжения нити $\text{T}$ и сила трения $F_{\text{тр}}$. На брусок, подвешенный вертикально (брусок 2), действуют: сила тяжести $mg$ и сила натяжения нити $\text{T}$. Так как нить нерастяжима и невесома, а блок идеален, ускорение обоих брусков по модулю одинаково ($\text{a}$), и сила натяжения нити $\text{T}$ одинакова по всей длине.

Сначала определим направление движения. Сравним проекцию силы тяжести бруска 1 на наклонную плоскость и силу тяжести бруска 2.

Проекция силы тяжести бруска 1: $F_{1\text{x}} = mg \sin\alpha = 0.1 \cdot 9.8 \cdot \sin30^\circ = 0.98 \cdot 0.5 = 0.49 \text{ Н}$.

Сила тяжести бруска 2: $F_2 = mg = 0.1 \cdot 9.8 = 0.98 \text{ Н}$.

Поскольку $F_2 > F_{1\text{x}}$, подвешенный брусок будет опускаться вниз, а брусок на наклонной плоскости будет двигаться вверх. Следовательно, сила трения $F_{\text{тр}}$ будет направлена вниз вдоль наклонной плоскости.

1. Определение ускорения тел

Запишем второй закон Ньютона для каждого бруска в проекциях на оси координат.

Для бруска 1 (на наклонной плоскости) выберем ось OX, направленную вверх вдоль плоскости, и ось OY, перпендикулярную плоскости.

Проекция на ось OY: $N - mg \cos\alpha = 0 \implies N = mg \cos\alpha$.

Сила трения скольжения: $F_{\text{тр}} = \mu N = \mu mg \cos\alpha$.

Проекция на ось OX: $T - mg \sin\alpha - F_{\text{тр}} = ma$.

Подставим выражение для силы трения:

$T - mg \sin\alpha - \mu mg \cos\alpha = ma$ (1)

Для бруска 2 (подвешенного) выберем ось OY, направленную вертикально вниз.

$mg - T = ma$ (2)

Получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными $\text{a}$ и $\text{T}$. Выразим $\text{T}$ из второго уравнения: $T = mg - ma$ и подставим в первое:

$(mg - ma) - mg \sin\alpha - \mu mg \cos\alpha = ma$

Соберем слагаемые с ускорением $\text{a}$ в правой части, а остальные в левой:

$mg - mg \sin\alpha - \mu mg \cos\alpha = ma + ma$

$mg(1 - \sin\alpha - \mu \cos\alpha) = 2ma$

Сократим массу $\text{m}$ и выразим ускорение $\text{a}$:

$a = \frac{g}{2}(1 - \sin\alpha - \mu \cos\alpha)$

Подставим числовые значения:

$\sin30^\circ = 0.5$

$\cos30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0.866$

$a = \frac{9.8}{2}(1 - 0.5 - 0.1 \cdot 0.866) = 4.9(0.5 - 0.0866) = 4.9 \cdot 0.4134 \approx 2.026 \text{ м/с}^2$

Округлим до двух значащих цифр: $a \approx 2.0 \text{ м/с}^2$.

Ответ: Ускорение тел составляет примерно $2.0 \text{ м/с}^2$.

2. Определение силы, действующей со стороны нити на блок

Сначала найдем силу натяжения нити $\text{T}$, используя уравнение (2) и найденное значение ускорения $\text{a}$:

$T = mg - ma = m(g - a)$

$T = 0.1 \cdot (9.8 - 2.026) = 0.1 \cdot 7.774 = 0.7774 \text{ Н}$

На блок действуют две силы натяжения со стороны нити: одна направлена вдоль наклонной плоскости ($T_1$), другая вертикально вниз ($T_2$). Модули этих сил равны: $|T_1| = |T_2| = T$. Результирующая сила, действующая на блок, является векторной суммой этих двух сил: $\vec{F}_{\text{блок}} = \vec{T}_1 + \vec{T}_2$.

Угол между вектором $T_1$ (направленным под углом $30^\circ$ к горизонту) и вектором $T_2$ (направленным вертикально) равен $\beta = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$.

Модуль результирующей силы найдем по теореме косинусов:

$F_{\text{блок}} = \sqrt{T_1^2 + T_2^2 + 2T_1T_2 \cos\beta}$

Так как $T_1=T_2=T$:

$F_{\text{блок}} = \sqrt{T^2 + T^2 + 2T^2 \cos60^\circ} = \sqrt{2T^2(1 + \cos60^\circ)}$

Поскольку $\cos60^\circ = 0.5$:

$F_{\text{блок}} = \sqrt{2T^2(1 + 0.5)} = \sqrt{3T^2} = T\sqrt{3}$

Подставим значение $\text{T}$:

$F_{\text{блок}} = 0.7774 \cdot \sqrt{3} \approx 0.7774 \cdot 1.732 \approx 1.346 \text{ Н}$

Округлим до двух значащих цифр: $F_{\text{блок}} \approx 1.3 \text{ Н}$.

Ответ: Сила, действующая со стороны нити на блок, составляет примерно $1.3 \text{ Н}$.