Номер 202, страница 30, часть 1 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 1. 10 класс. Механика. Динамика. Силы трения. Силы трения и силы сопротивления - номер 202, страница 30.

Условие.

202. [178] В сосуд с маслом бросили свинцовый шарик радиусом 2 мм. Определите установившуюся скорость шарика. Сила сопротивления пропорциональна скорости: $F_c = kv$, где $k = 7,7 \cdot 10^{-5} \text{ кг/с}$. Плотность свинца $1,13 \cdot 10^{3} \text{ кг/м}^3$, а плотность масла $0,9 \cdot 10^{3} \text{ кг/м}^3$.

Решение.

Дано

Радиус свинцового шарика, $r = 2$ мм
Коэффициент сопротивления, $k = 7,7 \cdot 10^{-5}$ кг/с
Плотность свинца, $\rho_{св} = 1,13 \cdot 10^{3}$ кг/м³
Плотность масла, $\rho_{м} = 0,9 \cdot 10^{3}$ кг/м³

Перевод в систему СИ:
$r = 2 \cdot 10^{-3}$ м

Найти:

Установившаяся скорость шарика, $v_{уст}$ — ?

Решение

Когда свинцовый шарик падает в масле, на него действуют три силы:

1. Сила тяжести $F_g$, направленная вертикально вниз.
2. Архимедова сила (выталкивающая сила) $F_A$, направленная вертикально вверх.
3. Сила сопротивления среды $F_c$, направленная вертикально вверх (против движения).

Установившаяся скорость достигается тогда, когда равнодействующая всех сил, действующих на шарик, становится равной нулю. В этот момент шарик перестает ускоряться и движется равномерно. Условие равновесия сил можно записать так:

$F_g = F_A + F_c$

Расшифруем каждую из сил:

Сила тяжести: $F_g = m \cdot g$, где $\text{m}$ - масса шарика, а $\text{g}$ - ускорение свободного падения ($g \approx 9,8$ м/с²). Массу шарика можно выразить через его плотность $\rho_{св}$ и объем $\text{V}$: $m = \rho_{св} \cdot V$.

$F_g = \rho_{св} \cdot V \cdot g$

Архимедова сила: $F_A = \rho_{м} \cdot g \cdot V$, где $\rho_{м}$ - плотность масла.

Сила сопротивления: по условию $F_c = k \cdot v_{уст}$, где $v_{уст}$ - установившаяся скорость.

Объем шарика (сферы) вычисляется по формуле: $V = \frac{4}{3}\pi r^3$.

Подставим выражения для сил в уравнение равновесия:

$\rho_{св} \cdot V \cdot g = \rho_{м} \cdot g \cdot V + k \cdot v_{уст}$

Выразим отсюда установившуюся скорость $v_{уст}$:

$k \cdot v_{уст} = \rho_{св} \cdot V \cdot g - \rho_{м} \cdot g \cdot V$

$k \cdot v_{уст} = (\rho_{св} - \rho_{м}) \cdot g \cdot V$

Подставим формулу для объема $\text{V}$:

$k \cdot v_{уст} = (\rho_{св} - \rho_{м}) \cdot g \cdot \frac{4}{3}\pi r^3$

$v_{уст} = \frac{(\rho_{св} - \rho_{м}) \cdot g \cdot \frac{4}{3}\pi r^3}{k}$

Теперь подставим числовые значения в систему СИ:

$v_{уст} = \frac{(1,13 \cdot 10^3 - 0,9 \cdot 10^3) \cdot 9,8 \cdot \frac{4}{3} \cdot \pi \cdot (2 \cdot 10^{-3})^3}{7,7 \cdot 10^{-5}}$

$v_{уст} = \frac{0,23 \cdot 10^3 \cdot 9,8 \cdot \frac{4}{3} \cdot \pi \cdot 8 \cdot 10^{-9}}{7,7 \cdot 10^{-5}}$

$v_{уст} = \frac{230 \cdot 9,8 \cdot \frac{4}{3} \cdot \pi \cdot 8 \cdot 10^{-9}}{7,7 \cdot 10^{-5}}$

$v_{уст} = \frac{2254 \cdot 33,51 \cdot 10^{-9}}{3 \cdot 7,7 \cdot 10^{-5}} \approx \frac{75531 \cdot 10^{-9}}{7,7 \cdot 10^{-5}}$

$v_{уст} \approx \frac{7,553 \cdot 10^{-5}}{7,7 \cdot 10^{-5}} \approx 0,98$ м/с

Ответ: установившаяся скорость шарика составляет примерно $0,98$ м/с.