Номер 196, страница 29, часть 1 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 1. 10 класс. Механика. Динамика. Силы трения. Силы трения и силы сопротивления - номер 196, страница 29.

Условие.

196. [172] На конце доски длиной 2 м помещён брусок длиной 20 см (рис. 38). На доску действует горизонтальная сила 40 Н. Массы бруска и доски равны соответственно 4 и 16 кг. Коэффициент трения между поверхностями бруска и доски 0,01, а между доской и полом 0,05. Через какой промежуток времени с момента начала действия силы брусок соскочит с доски?

Рис. 38

Решение.

Дано:

Длина доски $L = 2$ м
Длина бруска $l = 20$ см
Горизонтальная сила $F = 40$ Н
Масса бруска $m_1 = 4$ кг
Масса доски $m_2 = 16$ кг
Коэффициент трения между бруском и доской $\mu_1 = 0,01$
Коэффициент трения между доской и полом $\mu_2 = 0,05$
Ускорение свободного падения $g \approx 9,8$ м/с$^2$

$l = 20$ см $= 0,2$ м

Найти:

$\text{t}$ — ?

Решение:

Для решения задачи воспользуемся вторым законом Ньютона. Введем систему координат, связанную с землей. Ось $Ox$ направим горизонтально в сторону действия силы $\text{F}$, а ось $Oy$ — вертикально вверх.

1. Рассмотрим силы, действующие на брусок (масса $m_1$). В вертикальном направлении на него действуют сила тяжести $m_1 g$ и сила нормальной реакции со стороны доски $N_1$. В горизонтальном направлении действует сила трения скольжения $F_{тр1}$ со стороны доски, которая сообщает бруску ускорение $a_1$.Запишем второй закон Ньютона для бруска в проекциях на оси координат:

Проекция на ось $Oy$: $N_1 - m_1 g = 0$, откуда сила нормальной реакции $N_1 = m_1 g$.

Проекция на ось $Ox$: $F_{тр1} = m_1 a_1$.

Сила трения скольжения $F_{тр1} = \mu_1 N_1 = \mu_1 m_1 g$.

Следовательно, ускорение бруска:$m_1 a_1 = \mu_1 m_1 g \implies a_1 = \mu_1 g$.

2. Рассмотрим силы, действующие на доску (масса $m_2$). На нее действуют: внешняя сила $\text{F}$, сила тяжести $m_2 g$, сила нормальной реакции со стороны пола $N_2$, сила трения со стороны пола $F_{тр2}$, а также силы взаимодействия с бруском — сила давления $N_1'$ (равная по модулю $N_1$) и сила трения $F'_{тр1}$ (равная по модулю $F_{тр1}$ и направленная против движения).Запишем второй закон Ньютона для доски в проекциях на оси:

Проекция на ось $Oy$: $N_2 - N_1' - m_2 g = 0$. Так как $N_1' = N_1 = m_1 g$, то $N_2 = m_1 g + m_2 g = (m_1 + m_2)g$.

Проекция на ось $Ox$: $F - F'_{тр1} - F_{тр2} = m_2 a_2$.

Силы трения, действующие на доску:$F'_{тр1} = \mu_1 N_1 = \mu_1 m_1 g$.$F_{тр2} = \mu_2 N_2 = \mu_2 (m_1 + m_2)g$.

Подставив выражения для сил трения, получим ускорение доски $a_2$:$a_2 = \frac{F - \mu_1 m_1 g - \mu_2 (m_1 + m_2)g}{m_2}$.

3. Вычислим ускорения тел:$a_1 = 0,01 \cdot 9,8 \, \text{м/с}^2 = 0,098 \, \text{м/с}^2$.$a_2 = \frac{40 - 0,01 \cdot 4 \cdot 9,8 - 0,05 \cdot (4 + 16) \cdot 9,8}{16} = \frac{40 - 0,392 - 9,8}{16} = \frac{29,808}{16} = 1,863 \, \text{м/с}^2$.

Поскольку $a_2 > a_1$, доска движется с большим ускорением, чем брусок, и брусок соскальзывает с нее.

4. Найдем время соскальзывания. Брусок движется относительно доски с ускорением $a_{отн} = a_2 - a_1$.$a_{отн} = 1,863 - 0,098 = 1,765 \, \text{м/с}^2$.

Чтобы брусок соскочил с доски, он должен пройти относительно нее расстояние $S_{отн}$, равное длине доски за вычетом длины бруска:$S_{отн} = L - l = 2 \, \text{м} - 0,2 \, \text{м} = 1,8 \, \text{м}$.

Так как начальная относительная скорость равна нулю, время движения находим из формулы $S = \frac{a t^2}{2}$:$S_{отн} = \frac{a_{отн} t^2}{2}$.

Отсюда выразим время $\text{t}$:$t = \sqrt{\frac{2 S_{отн}}{a_{отн}}} = \sqrt{\frac{2 \cdot 1,8 \, \text{м}}{1,765 \, \text{м/с}^2}} = \sqrt{\frac{3,6}{1,765}} \approx \sqrt{2,0397} \approx 1,428 \, \text{с}$.

Округлим результат до сотых.

Ответ: $t \approx 1,43$ с.