Номер 197, страница 29, часть 1 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 1. 10 класс. Механика. Динамика. Силы трения. Силы трения и силы сопротивления - номер 197, страница 29.

Условие.

197. [173] Рабочий тянет ящик массой 80 кг вверх по наклонной плоскости, составляющей с горизонтом угол 30° (рис. 39). Коэффициент трения ящика о плоскость 0,05. Определите силу натяжения верёвки при равномерном движении ящика, если угол между верёвкой и плоскостью 45° ($g = 9,8 \text{ м/с}^2$).

Рис. 39

Решение.

Дано

Масса ящика: $m = 80$ кг
Угол наклона плоскости: $\alpha = 30^{\circ}$
Коэффициент трения: $\mu = 0,05$
Угол между верёвкой и плоскостью: $\beta = 45^{\circ}$
Ускорение свободного падения: $g = 9,8$ м/с²
Движение равномерное, следовательно, ускорение $a = 0$

Найти:

Силу натяжения верёвки $F - ?$

Решение

На ящик действуют четыре силы: сила тяжести ($m\vec{g}$), сила реакции опоры ($\vec{N}$), сила натяжения верёвки ($\vec{F}$) и сила трения скольжения ($\vec{F}_{тр}$).

Выберем систему координат. Ось $Ox$ направим вверх вдоль наклонной плоскости, а ось $Oy$ — перпендикулярно ей вверх.

Поскольку ящик движется равномерно, его ускорение равно нулю. Согласно второму закону Ньютона, равнодействующая всех сил, приложенных к телу, равна нулю:

$\vec{F} + m\vec{g} + \vec{N} + \vec{F}_{тр} = 0$

Запишем это уравнение в проекциях на оси координат:

Проекция на ось $Ox$: $F \cos\beta - mg \sin\alpha - F_{тр} = 0$

Проекция на ось $Oy$: $F \sin\beta + N - mg \cos\alpha = 0$

Сила трения скольжения определяется по формуле: $F_{тр} = \mu N$.

Из уравнения для оси $Oy$ выразим силу реакции опоры $\text{N}$:

$N = mg \cos\alpha - F \sin\beta$

Теперь подставим выражение для $\text{N}$ в формулу для силы трения и затем в уравнение для оси $Ox$:

$F \cos\beta - mg \sin\alpha - \mu (mg \cos\alpha - F \sin\beta) = 0$

Раскроем скобки и сгруппируем слагаемые, содержащие искомую силу $\text{F}$:

$F \cos\beta - mg \sin\alpha - \mu mg \cos\alpha + \mu F \sin\beta = 0$

$F (\cos\beta + \mu \sin\beta) = mg \sin\alpha + \mu mg \cos\alpha$

$F (\cos\beta + \mu \sin\beta) = mg (\sin\alpha + \mu \cos\alpha)$

Выразим силу натяжения $\text{F}$:

$F = \frac{mg (\sin\alpha + \mu \cos\alpha)}{\cos\beta + \mu \sin\beta}$

Подставим числовые значения:

$F = \frac{80 \text{ кг} \cdot 9,8 \text{ м/с²} \cdot (\sin30^{\circ} + 0,05 \cdot \cos30^{\circ})}{\cos45^{\circ} + 0,05 \cdot \sin45^{\circ}}$

$F = \frac{784 \cdot (0,5 + 0,05 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2})}{\frac{\sqrt{2}}{2} + 0,05 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}} \approx \frac{784 \cdot (0,5 + 0,05 \cdot 0,866)}{0,707 + 0,05 \cdot 0,707}$

$F \approx \frac{784 \cdot (0,5 + 0,0433)}{0,707 \cdot (1 + 0,05)} = \frac{784 \cdot 0,5433}{0,707 \cdot 1,05} \approx \frac{425,95}{0,7424} \approx 573,8$ Н

Округляя, получаем $F \approx 574$ Н.

Ответ: сила натяжения верёвки составляет примерно 574 Н.