Номер 195, страница 29, часть 1 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 1. 10 класс. Механика. Динамика. Силы трения. Силы трения и силы сопротивления - номер 195, страница 29.

Условие.

195. [171] На горизонтальной поверхности льда лежит доска. С каким минимальным ускорением мальчик массой 50 кг должен бежать по доске, чтобы она начала скользить по льду? Масса доски 40 кг. Коэффициент трения между поверхностями доски и льда равен 0,01.

Решение.

Дано:

$m_1 = 50$ кг (масса мальчика)

$m_2 = 40$ кг (масса доски)

$\mu = 0,01$ (коэффициент трения между доской и льдом)

$g \approx 9,8$ м/с$^2$ (ускорение свободного падения)

Все данные представлены в системе СИ.

Найти:

$a_{rel}$ - минимальное ускорение мальчика относительно доски.

Решение:

Чтобы доска начала скользить по льду, сила, с которой мальчик отталкивается от доски, должна превысить максимальную силу трения покоя между доской и льдом. Рассмотрим предельный случай, когда сила, с которой мальчик толкает доску, равна максимальной силе трения покоя.

1. Найдём максимальную силу трения покоя ($F_{тр.max}$). Она равна произведению коэффициента трения $\mu$ на силу нормальной реакции $\text{N}$. Сила нормальной реакции $\text{N}$ уравновешивает суммарный вес мальчика и доски, так как движение происходит по горизонтальной поверхности.

$N = (m_1 + m_2)g$

Тогда максимальная сила трения покоя:

$F_{тр.max} = \mu N = \mu (m_1 + m_2)g$

2. Когда мальчик бежит по доске, он отталкивается от неё с некоторой силой $F_{вз}$. По третьему закону Ньютона, доска действует на мальчика с такой же по модулю, но противоположно направленной силой. Эта сила и сообщает мальчику ускорение.

Доска начнёт скользить, когда сила, с которой мальчик на неё действует, достигнет значения $F_{тр.max}$.

$F_{вз} = F_{тр.max} = \mu (m_1 + m_2)g$

3. Рассмотрим движение мальчика и доски относительно инерциальной системы отсчёта, связанной со льдом. Пусть $a_1$ — ускорение мальчика относительно льда, а $a_2$ — ускорение доски относительно льда. Ускорение мальчика относительно доски $a_{rel}$ связано с ними соотношением:

$\vec{a}_{rel} = \vec{a}_1 - \vec{a}_2$

В проекциях на горизонтальную ось, направленную в сторону бега мальчика: $a_{rel} = a_1 - a_2$. Поскольку мальчик толкает доску назад, её ускорение $a_2$ будет направлено в противоположную сторону, то есть $a_2 \le 0$.

4. Запишем второй закон Ньютона для мальчика и доски в проекциях на горизонтальную ось.

Для мальчика: сила, сообщающая ему ускорение, это сила со стороны доски, равная $F_{вз}$.

$F_{вз} = m_1 a_1$

Для доски: на неё действуют сила со стороны мальчика (в обратную сторону, $-F_{вз}$) и сила трения $F_{тр}$.

$F_{тр} - F_{вз} = m_2 a_2$

5. В момент, когда доска вот-вот начнёт скользить, её ускорение ещё равно нулю ($a_2 = 0$), а сила трения достигает своего максимального значения ($F_{тр} = F_{тр.max}$). Сила взаимодействия $F_{вз}$ при этом также равна $F_{тр.max}$.

При $a_2 = 0$ из уравнения для ускорений получаем:

$a_{rel} = a_1 - 0 \implies a_{rel} = a_1$

Подставим это в уравнение для мальчика:

$F_{вз} = m_1 a_{rel}$

Так как в этот предельный момент $F_{вз} = F_{тр.max}$, то:

$F_{тр.max} = m_1 a_{rel}$

Заменяем $F_{тр.max}$ на его выражение:

$\mu (m_1 + m_2)g = m_1 a_{rel}$

Отсюда выражаем искомое минимальное ускорение $a_{rel}$:

$a_{rel} = \frac{\mu (m_1 + m_2)g}{m_1}$

6. Подставим числовые значения:

$a_{rel} = \frac{0,01 \cdot (50 \text{ кг} + 40 \text{ кг}) \cdot 9,8 \text{ м/с}^2}{50 \text{ кг}} = \frac{0,01 \cdot 90 \text{ кг} \cdot 9,8 \text{ м/с}^2}{50 \text{ кг}}$

$a_{rel} = \frac{0,9 \cdot 9,8}{50} \text{ м/с}^2 = \frac{8,82}{50} \text{ м/с}^2 = 0,1764 \text{ м/с}^2$

Округляя до двух значащих цифр, получаем $0,18$ м/с$^2$.

Ответ: Минимальное ускорение, с которым мальчик должен бежать по доске, чтобы она начала скользить, равно $0,1764$ м/с$^2$.