Номер 200, страница 30, часть 1 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 1. 10 класс. Механика. Динамика. Силы трения. Силы трения и силы сопротивления - номер 200, страница 30.

Условие.

200. [176] Доску массой 20 кг поднимают вверх по наклонной плоскости, действуя силой 195 Н (рис. 42). На доске находится брусок массой 1 кг. Определите ускорения бруска и доски. Коэффициент трения доски о плоскость 0,2, а бруска о доску 0,1. Наклонная плоскость составляет с горизонтом угол $60^\circ$.

Рис. 42

Решение.

Дано

Масса доски, $M = 20$ кг

Масса бруска, $m = 1$ кг

Сила, действующая на доску, $F = 195$ Н

Коэффициент трения доски о плоскость, $\mu_1 = 0,2$

Коэффициент трения бруска о доску, $\mu_2 = 0,1$

Угол наклона плоскости, $\alpha = 60^\circ$

Ускорение свободного падения, $g \approx 10$ м/с$^2$

Все данные представлены в системе СИ.

Найти:

Ускорение бруска, $a_б$

Ускорение доски, $a_д$

Решение

Для решения задачи введем систему координат: ось $Ox$ направим вверх вдоль наклонной плоскости, а ось $Oy$ — перпендикулярно ей.

Рассмотрим силы, действующие на брусок и доску, и запишем для них второй закон Ньютона в проекциях на оси координат.

1. Силы, действующие на брусок:

• Сила тяжести $m\vec{g}$
• Сила нормальной реакции со стороны доски $\vec{N_2}$
• Сила трения со стороны доски $\vec{F}_{тр2}$

Второй закон Ньютона для бруска в проекциях:

На ось $Oy$: $N_2 - mg \cos\alpha = 0 \implies N_2 = mg \cos\alpha$

На ось $Ox$: $F_{тр2} - mg \sin\alpha = ma_б$

2. Силы, действующие на доску:

• Сила тяжести $M\vec{g}$
• Внешняя сила $\vec{F}$
• Сила нормальной реакции со стороны наклонной плоскости $\vec{N_1}$
• Сила трения со стороны наклонной плоскости $\vec{F}_{тр1}$
• Сила нормальной реакции со стороны бруска $\vec{N_2}'$ (по третьему закону Ньютона $N_2' = N_2$)
• Сила трения со стороны бруска $\vec{F}_{тр2}'$ (по третьему закону Ньютона $F_{тр2}' = F_{тр2}$)

Второй закон Ньютона для доски в проекциях:

На ось $Oy$: $N_1 - N_2' - Mg \cos\alpha = 0 \implies N_1 = N_2' + Mg \cos\alpha = (m+M)g \cos\alpha$

На ось $Ox$: $F - F_{тр1} - F_{тр2}' - Mg \sin\alpha = Ma_д$

Прежде чем находить ускорения, нужно определить, скользит ли брусок по доске. Для этого сравним максимальную силу трения покоя между бруском и доской с силой, которая стремится сдвинуть брусок вниз по доске.

Сила, с которой доска может "увлекать" за собой брусок вверх, — это сила трения $F_{тр2}$. Максимальное значение этой силы (сила трения скольжения):

$F_{тр2, max} = \mu_2 N_2 = \mu_2 mg \cos\alpha$

Максимальное ускорение, которое доска может сообщить бруску за счет трения, равно:

$a_{б, max} = \frac{F_{тр2, max} - mg \sin\alpha}{m} = \frac{\mu_2 mg \cos\alpha - mg \sin\alpha}{m} = g(\mu_2 \cos\alpha - \sin\alpha)$

Подставим числовые значения:

$a_{б, max} = 10 \cdot (0,1 \cdot \cos(60^\circ) - \sin(60^\circ)) = 10 \cdot (0,1 \cdot 0,5 - \frac{\sqrt{3}}{2}) \approx 10 \cdot (0,05 - 0,866) = -8,16$ м/с$^2$.

Отрицательное значение показывает, что даже максимальная сила трения неспособна удержать брусок от соскальзывания вниз под действием силы тяжести. Таким образом, брусок будет скользить по доске, и сила трения между ними будет силой трения скольжения, направленной вверх по наклонной плоскости (для бруска).

Теперь мы можем найти ускорения для каждого тела, зная, что они движутся раздельно.

Ускорение бруска ($a_б$):

Поскольку брусок скользит, сила трения $F_{тр2}$ равна силе трения скольжения $\mu_2 N_2$.

$ma_б = F_{тр2} - mg \sin\alpha = \mu_2 mg \cos\alpha - mg \sin\alpha$

$a_б = g(\mu_2 \cos\alpha - \sin\alpha) = 10 \cdot (0,1 \cdot 0,5 - 0,866) = 10 \cdot (-0,816) = -8,16$ м/с$^2$.

Знак "минус" означает, что ускорение бруска направлено вниз вдоль наклонной плоскости.

Ускорение доски ($a_д$):

Для доски используем уравнение движения по оси $Ox$. Сила трения со стороны плоскости $F_{тр1}$ и сила трения со стороны бруска $F_{тр2}'$ направлены вниз, против движения.

$F_{тр1} = \mu_1 N_1 = \mu_1 (m+M)g \cos\alpha$

$F_{тр2}' = F_{тр2} = \mu_2 mg \cos\alpha$

$Ma_д = F - F_{тр1} - F_{тр2}' - Mg \sin\alpha$

$a_д = \frac{F - \mu_1 (m+M)g \cos\alpha - \mu_2 mg \cos\alpha - Mg \sin\alpha}{M}$

Подставим числовые значения:

$a_д = \frac{195 - 0,2 \cdot (1+20) \cdot 10 \cdot 0,5 - 0,1 \cdot 1 \cdot 10 \cdot 0,5 - 20 \cdot 10 \cdot 0,866}{20}$

$a_д = \frac{195 - 0,2 \cdot 21 \cdot 5 - 0,1 \cdot 5 - 200 \cdot 0,866}{20}$

$a_д = \frac{195 - 21 - 0,5 - 173,2}{20} = \frac{195 - 194,7}{20} = \frac{0,3}{20} = 0,015$ м/с$^2$.

Ускорение доски положительно, значит, она движется с ускорением вверх вдоль наклонной плоскости.

Ответ: Ускорение бруска $a_б \approx -8,16$ м/с$^2$ (направлено вниз вдоль наклонной плоскости), ускорение доски $a_д = 0,015$ м/с$^2$ (направлено вверх вдоль наклонной плоскости).