Номер 207, страница 31, часть 1 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 1. 10 класс. Механика. Законы сохранения в механике. Закон сохранения импульса. Импульс материальной точки. Второй закон Ньютона в импульсной форме - номер 207, страница 31.

Условие.

207. [183] Мяч массой $100 \text{ г}$ подлетает к стенке под углом $45^\circ$ со скоростью $10 \text{ м/с}$ и отскакивает от неё. Скорость мяча после удара равна $6 \text{ м/с}$ и направлена под углом $30^\circ$ к стенке. Определите коэффициент трения между мячом и стенкой.

Решение.

Дано:

$m = 100 \text{ г} = 0.1 \text{ кг}$
$v_1 = 10 \text{ м/с}$
$\alpha = 45^\circ$
$v_2 = 6 \text{ м/с}$
$\beta = 30^\circ$

Найти:

$\mu$

Решение:

При ударе мяча о стенку на него действуют две силы со стороны стенки: сила нормальной реакции $\vec{N}$, перпендикулярная стенке, и сила трения $\vec{F}_{тр}$, параллельная стенке. Согласно второму закону Ньютона в импульсной форме, изменение импульса мяча равно суммарному импульсу этих сил: $\Delta\vec{p} = \vec{I}_N + \vec{I}_{тр}$.

Введем систему координат: ось $OX$ направим перпендикулярно стенке (по нормали), а ось $OY$ — параллельно стенке. Углы $\alpha$ и $\beta$ даны по отношению к стенке (оси $OY$).

Найдем проекции начальной и конечной скоростей на оси координат.

Начальная скорость $\vec{v}_1$:
$v_{1x} = -v_1 \sin \alpha$ (направлена к стенке, против оси $OX$)
$v_{1y} = v_1 \cos \alpha$

Конечная скорость $\vec{v}_2$:
$v_{2x} = v_2 \sin \beta$ (направлена от стенки, по оси $OX$)
$v_{2y} = v_2 \cos \beta$

Изменение импульса мяча в проекциях на оси равно импульсам соответствующих сил.

Проекция на ось $OX$ (перпендикулярно стенке):
$I_N = \Delta p_x = m(v_{2x} - v_{1x}) = m(v_2 \sin \beta - (-v_1 \sin \alpha)) = m(v_1 \sin \alpha + v_2 \sin \beta)$

Проекция на ось $OY$ (параллельно стенке):
$I_{тр} = \Delta p_y = m(v_{2y} - v_{1y}) = m(v_2 \cos \beta - v_1 \cos \alpha)$

Во время удара сила трения скольжения связана с силой нормальной реакции соотношением $F_{тр} = \mu N$. Так как коэффициент трения $\mu$ постоянен, то для модулей импульсов этих сил справедливо аналогичное соотношение: $|I_{тр}| = \mu I_N$.

Отсюда выразим коэффициент трения:

$\mu = \frac{|I_{тр}|}{I_N} = \frac{|\Delta p_y|}{\Delta p_x} = \frac{|m(v_2 \cos \beta - v_1 \cos \alpha)|}{m(v_1 \sin \alpha + v_2 \sin \beta)} = \frac{|v_2 \cos \beta - v_1 \cos \alpha|}{v_1 \sin \alpha + v_2 \sin \beta}$

Подставим числовые значения:

$\mu = \frac{|6 \cdot \cos 30^\circ - 10 \cdot \cos 45^\circ|}{10 \cdot \sin 45^\circ + 6 \cdot \sin 30^\circ} = \frac{|6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - 10 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}|}{10 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + 6 \cdot \frac{1}{2}} = \frac{|3\sqrt{3} - 5\sqrt{2}|}{5\sqrt{2} + 3}$

Вычислим приближенные значения:

$3\sqrt{3} \approx 3 \cdot 1.732 = 5.196$

$5\sqrt{2} \approx 5 \cdot 1.414 = 7.07$

$\mu = \frac{|5.196 - 7.07|}{7.07 + 3} = \frac{1.874}{10.07} \approx 0.186$

Округляя до двух значащих цифр, получаем $\mu \approx 0.19$.

Ответ: $\mu \approx 0.19$.