Номер 211, страница 31, часть 1 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 1. 10 класс. Механика. Законы сохранения в механике. Закон сохранения импульса. Импульс материальной точки. Второй закон Ньютона в импульсной форме - номер 211, страница 31.

Условие.

211. [187] Из пушки производится выстрел, при этом дальность полёта снаряда в 2 раза больше максимальной высоты подъёма. Импульс снаряда в начальной точке траектории равен $1000 \, \text{кг} \cdot \text{м}/\text{с}$. Определите импульс снаряда в наивысшей точке траектории. Сопротивление воздуха не учитывайте.

Решение.

Дано:

$L = 2H$

$p_0 = 1000$ кг·м/с

Все данные представлены в системе СИ.

Найти:

$p_H$ - импульс снаряда в наивысшей точке траектории.

Решение:

Импульс тела определяется как произведение его массы $\text{m}$ на скорость $\text{v}$. Начальный импульс снаряда $p_0$ равен:

$p_0 = m v_0$

где $v_0$ — начальная скорость снаряда.

В наивысшей точке траектории вертикальная составляющая скорости снаряда становится равной нулю ($v_y = 0$), а горизонтальная составляющая $v_x$ остается постоянной на протяжении всего полета (так как сопротивление воздуха не учитывается). Таким образом, скорость снаряда в наивысшей точке равна $v_H = v_x$.

Импульс снаряда в этой точке будет равен:

$p_H = m v_x$

Горизонтальная составляющая начальной скорости связана с полной начальной скоростью через угол броска $\alpha$ к горизонту:

$v_x = v_0 \cos(\alpha)$

Подставим это выражение в формулу для $p_H$:

$p_H = m (v_0 \cos(\alpha)) = (m v_0) \cos(\alpha) = p_0 \cos(\alpha)$

Чтобы найти $p_H$, нам необходимо определить угол $\alpha$. Для этого воспользуемся условием, что дальность полета $\text{L}$ в 2 раза больше максимальной высоты подъема $\text{H}$.

Формулы для дальности полета и максимальной высоты подъема тела, брошенного под углом к горизонту:

$L = \frac{v_0^2 \sin(2\alpha)}{g}$

$H = \frac{(v_0 \sin(\alpha))^2}{2g} = \frac{v_0^2 \sin^2(\alpha)}{2g}$

где $\text{g}$ — ускорение свободного падения.

Подставим эти формулы в условие $L = 2H$:

$\frac{v_0^2 \sin(2\alpha)}{g} = 2 \cdot \frac{v_0^2 \sin^2(\alpha)}{2g}$

Сократим одинаковые множители ($v_0^2$ и $\text{g}$) в обеих частях уравнения:

$\sin(2\alpha) = \sin^2(\alpha)$

Используем тригонометрическую формулу для синуса двойного угла $\sin(2\alpha) = 2\sin(\alpha)\cos(\alpha)$:

$2\sin(\alpha)\cos(\alpha) = \sin^2(\alpha)$

Поскольку угол броска $\alpha$ не может быть равен нулю (иначе не было бы полета), мы можем разделить обе части на $\sin(\alpha)$:

$2\cos(\alpha) = \sin(\alpha)$

Разделив обе части на $\cos(\alpha)$, получим тангенс угла:

$\frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} = \tan(\alpha) = 2$

Теперь найдем $\cos(\alpha)$, зная $\tan(\alpha)$. Воспользуемся тригонометрическим тождеством $1 + \tan^2(\alpha) = \frac{1}{\cos^2(\alpha)}$:

$1 + 2^2 = \frac{1}{\cos^2(\alpha)}$

$5 = \frac{1}{\cos^2(\alpha)}$

$\cos^2(\alpha) = \frac{1}{5}$

Так как для полета снаряда угол $0° < \alpha < 90°$, значение косинуса положительно:

$\cos(\alpha) = \sqrt{\frac{1}{5}} = \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5}$

Теперь мы можем рассчитать импульс в наивысшей точке траектории:

$p_H = p_0 \cos(\alpha) = 1000 \cdot \frac{\sqrt{5}}{5} = 200\sqrt{5}$ кг·м/с

Вычислим приближенное значение:

$p_H \approx 200 \cdot 2.236 \approx 447.2$ кг·м/с

Ответ: импульс снаряда в наивысшей точке траектории равен $200\sqrt{5}$ кг·м/с, что приблизительно составляет 447,2 кг·м/с.