Номер 209, страница 31, часть 1 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 1. 10 класс. Механика. Законы сохранения в механике. Закон сохранения импульса. Импульс материальной точки. Второй закон Ньютона в импульсной форме - номер 209, страница 31.

Условие.

209. [185] Космический корабль должен изменить курс и начать движение под углом $15^\circ$ к начальному направлению с тем же импульсом, равным $5 \cdot 10^6 \text{ Н}\cdot\text{с}$. На какое наименьшее время нужно включить двигатель, если при этом на корабль начинает действовать сила, равная $10^5 \text{ Н}$?

Решение.

Дано:

Угол изменения курса, $\alpha = 15^\circ$

Начальный и конечный импульс, $p = 5 \cdot 10^6$ Н·с

Сила тяги двигателя, $F = 10^5$ Н

Все данные представлены в системе СИ.

Найти:

Наименьшее время работы двигателя, $\Delta t$

Решение:

Согласно второму закону Ньютона в импульсной форме, изменение импульса тела равно импульсу действующей на него силы:

$\Delta \vec{p} = \vec{F} \Delta t$

Изменение импульса $\Delta \vec{p}$ является векторной разностью конечного $\vec{p_2}$ и начального $\vec{p_1}$ импульсов: $\Delta \vec{p} = \vec{p_2} - \vec{p_1}$.

Поскольку по условию задачи модули начального и конечного импульсов равны ($|\vec{p_1}| = |\vec{p_2}| = p$), а угол между их направлениями составляет $\alpha$, то модуль вектора изменения импульса $|\Delta \vec{p}|$ можно найти, рассмотрев равнобедренный треугольник, образованный векторами. Его величина определяется по формуле:

$|\Delta \vec{p}| = 2p \sin(\frac{\alpha}{2})$

Наименьшее время для совершения маневра будет достигнуто, если вектор силы тяги двигателя $\vec{F}$ будет направлен так же, как и вектор изменения импульса $\Delta \vec{p}$. В этом случае можно записать соотношение для модулей величин:

$F \Delta t = |\Delta \vec{p}|$

Отсюда выразим искомое время $\Delta t$:

$\Delta t = \frac{|\Delta \vec{p}|}{F} = \frac{2p \sin(\frac{\alpha}{2})}{F}$

Подставим числовые значения и произведем вычисления:

$\Delta t = \frac{2 \cdot 5 \cdot 10^6 \text{ Н·с} \cdot \sin(\frac{15^\circ}{2})}{10^5 \text{ Н}} = \frac{10^7 \cdot \sin(7.5^\circ)}{10^5} \text{ с} = 100 \cdot \sin(7.5^\circ) \text{ с}$

Используя значение синуса $\sin(7.5^\circ) \approx 0.1305$, получаем:

$\Delta t \approx 100 \cdot 0.1305 \text{ с} \approx 13.05 \text{ с}$

Округлив до десятых, получим $\Delta t \approx 13.1 \text{ с}$.

Ответ: наименьшее время, на которое нужно включить двигатель, составляет примерно 13,1 с.