Номер 199, страница 30, часть 1 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 1. 10 класс. Механика. Динамика. Силы трения. Силы трения и силы сопротивления - номер 199, страница 30.

Условие.

199 [175] Шайба, соскальзывая с ледяной горки высотой 3 м, упруго ударяется о препятствие, поставленное в конце горки (рис. 41). Поверхность горки составляет с горизонтом угол $30^\circ$. Коэффициент трения шайбы о ледяную горку равен 0,15. На какую высоту поднимется шайба после двух ударов о препятствие?

Рис. 41

Решение.

Дано:

Начальная высота $h_0 = 3$ м

Угол наклона горки $\alpha = 30°$

Коэффициент трения $\mu = 0.15$

Ускорение свободного падения $g \approx 9.8 \text{ м/с}^2$ (хотя оно сократится)

Найти:

$h_2$ — высота, на которую поднимется шайба после двух ударов.

Решение:

Для решения задачи воспользуемся законом сохранения и превращения энергии. Полная механическая энергия системы изменяется за счёт работы силы трения.

1. Первый спуск с высоты $h_0$.

Начальная потенциальная энергия шайбы $E_{p0} = mgh_0$. Кинетическая энергия вначале равна нулю. При соскальзывании с горки часть энергии расходуется на работу против силы трения $A_{тр}$. Длина спуска по наклонной плоскости равна $S_0 = \frac{h_0}{\sin\alpha}$. Сила трения $F_{тр} = \mu N = \mu mg \cos\alpha$, где $\text{N}$ — сила нормальной реакции.

Работа силы трения при спуске: $A_{тр, \text{вниз}} = -F_{тр} S_0 = -(\mu mg \cos\alpha) \frac{h_0}{\sin\alpha} = -\mu mgh_0 \cot\alpha$.

По закону изменения механической энергии, кинетическая энергия шайбы $E_{k1}$ у подножия горки перед первым ударом равна начальной потенциальной энергии за вычетом работы силы трения:

$E_{k1} = mgh_0 + A_{тр, \text{вниз}} = mgh_0 - \mu mgh_0 \cot\alpha = mgh_0(1 - \mu\cot\alpha)$.

2. Первый удар и последующий подъем на высоту $h_1$.

Удар о препятствие упругий, поэтому кинетическая энергия шайбы сохраняется. Шайба начинает движение вверх с кинетической энергией $E_{k1}$. Эта энергия расходуется на совершение работы против силы тяжести (увеличение потенциальной энергии до $E_{p1} = mgh_1$) и работы против силы трения $A_{тр, \text{вверх}}$.

Работа силы трения при подъеме на высоту $h_1$: $A_{тр, \text{вверх}} = -F_{тр} S_1 = -\mu mgh_1 \cot\alpha$, где $S_1 = \frac{h_1}{\sin\alpha}$.

Запишем закон изменения энергии для подъема: конечная энергия минус начальная равна работе неконсервативных сил.

$E_{p1} - E_{k1} = A_{тр, \text{вверх}}$

$mgh_1 - mgh_0(1 - \mu\cot\alpha) = -\mu mgh_1 \cot\alpha$.

Соберем все члены с $h_1$ в левой части:

$mgh_1 + \mu mgh_1\cot\alpha = mgh_0(1 - \mu\cot\alpha)$.

$mgh_1(1 + \mu\cot\alpha) = mgh_0(1 - \mu\cot\alpha)$.

Отсюда находим высоту $h_1$, на которую поднимется шайба после первого удара:

$h_1 = h_0 \frac{1 - \mu\cot\alpha}{1 + \mu\cot\alpha}$.

3. Второй спуск, удар и подъем на высоту $h_2$.

Процесс полностью аналогичен. Шайба скатывается с высоты $h_1$ и после второго упругого удара поднимается на высоту $h_2$. Соотношение между высотами $h_2$ и $h_1$ будет таким же, как между $h_1$ и $h_0$:

$h_2 = h_1 \frac{1 - \mu\cot\alpha}{1 + \mu\cot\alpha}$.

Подставим в это выражение формулу для $h_1$:

$h_2 = \left( h_0 \frac{1 - \mu\cot\alpha}{1 + \mu\cot\alpha} \right) \frac{1 - \mu\cot\alpha}{1 + \mu\cot\alpha} = h_0 \left( \frac{1 - \mu\cot\alpha}{1 + \mu\cot\alpha} \right)^2$.

4. Вычисления.

Подставим известные значения в полученную формулу. Учитывая, что $\cot30° = \sqrt{3}$:

$h_2 = 3 \cdot \left( \frac{1 - 0.15 \cdot \sqrt{3}}{1 + 0.15 \cdot \sqrt{3}} \right)^2$.

Используем приближенное значение $\sqrt{3} \approx 1.732$:

$h_2 \approx 3 \cdot \left( \frac{1 - 0.15 \cdot 1.732}{1 + 0.15 \cdot 1.732} \right)^2 = 3 \cdot \left( \frac{1 - 0.2598}{1 + 0.2598} \right)^2$.

$h_2 \approx 3 \cdot \left( \frac{0.7402}{1.2598} \right)^2 \approx 3 \cdot (0.58755)^2$.

$h_2 \approx 3 \cdot 0.3452 \approx 1.0356 \text{ м}$.

Округляя результат до сотых, получаем $h_2 \approx 1.04$ м.

Ответ:

После двух ударов о препятствие шайба поднимется на высоту примерно $1.04$ м.