Номер 186, страница 28, часть 1 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 1. 10 класс. Механика. Динамика. Силы упругости. Деформация и сила упругости. Закон Гука - номер 186, страница 28.

Условие.

186. [162] Шарик массой 180 г качается 162 на лёгкой пружине жёсткостью $10^2 \text{ Н/м}$ (рис. 36). В нерастянутом состоянии при горизонтальном положении длина пружины 40 см. Определите скорость шарика в тот момент, когда он проходит положение равновесия, если при этом пружина растягивается на 5 см.

Рис. 36

Решение.

Дано:

Масса шарика, $m = 180$ г

Жёсткость пружины, $k = 10^2$ Н/м

Длина нерастянутой пружины, $l_0 = 40$ см

Растяжение пружины в положении равновесия, $Δl = 5$ см

$m = 180 \text{ г} = 0.18 \text{ кг}$
$k = 10^2 \text{ Н/м} = 100 \text{ Н/м}$
$l_0 = 40 \text{ см} = 0.4 \text{ м}$
$Δl = 5 \text{ см} = 0.05 \text{ м}$

Найти:

Скорость шарика в положении равновесия, $\text{v}$

Решение:

Для решения этой задачи применим закон сохранения полной механической энергии. Система состоит из шарика, пружины и Земли. Силы сопротивления воздуха и трения не учитываем, поэтому полная механическая энергия системы сохраняется.

Рассмотрим два состояния системы: начальное (1) и конечное (2).

1. Начальное состояние. Шарик находится в горизонтальном положении, пружина не растянута. Скорость шарика равна нулю. Выберем этот уровень в качестве нулевого уровня потенциальной энергии ($h_1 = 0$).

Полная механическая энергия в начальном состоянии $E_1$ складывается из кинетической энергии шарика $K_1$, потенциальной энергии шарика в поле тяготения $U_{g1}$ и потенциальной энергии упругой деформации пружины $U_{s1}$.

$K_1 = 0$ (шарик покоится).
$U_{g1} = 0$ (шарик на нулевом уровне).
$U_{s1} = 0$ (пружина не деформирована).
Таким образом, полная начальная энергия: $E_1 = K_1 + U_{g1} + U_{s1} = 0$.

2. Конечное состояние. Шарик проходит положение равновесия, то есть самую нижнюю точку своей траектории. В этот момент он имеет искомую скорость $\text{v}$.

Полная механическая энергия в конечном состоянии $E_2$ складывается из кинетической энергии $K_2$, потенциальной энергии в поле тяготения $U_{g2}$ и потенциальной энергии пружины $U_{s2}$.

Кинетическая энергия: $K_2 = \frac{mv^2}{2}$.

Пружина растянута на величину $Δl$, её потенциальная энергия: $U_{s2} = \frac{k(Δl)^2}{2}$.

Шарик опустился относительно начального положения на высоту $\text{h}$. Эта высота равна длине растянутой пружины: $h = l_0 + Δl$. Поскольку шарик находится ниже нулевого уровня, его потенциальная энергия отрицательна: $U_{g2} = -mgh = -mg(l_0 + Δl)$.

Полная энергия в конечном состоянии: $E_2 = \frac{mv^2}{2} + \frac{k(Δl)^2}{2} - mg(l_0 + Δl)$.

Согласно закону сохранения энергии $E_1 = E_2$:

$0 = \frac{mv^2}{2} + \frac{k(Δl)^2}{2} - mg(l_0 + Δl)$

Выразим из этого уравнения скорость $\text{v}$:

$\frac{mv^2}{2} = mg(l_0 + Δl) - \frac{k(Δl)^2}{2}$

$v^2 = \frac{2}{m}\left(mg(l_0 + Δl) - \frac{k(Δl)^2}{2}\right) = 2g(l_0 + Δl) - \frac{k(Δl)^2}{m}$

$v = \sqrt{2g(l_0 + Δl) - \frac{k(Δl)^2}{m}}$

Подставим числовые значения в системе СИ. Примем ускорение свободного падения $g \approx 9.8$ м/с².

$v = \sqrt{2 \cdot 9.8 \frac{\text{м}}{\text{с}^2} \cdot (0.4 \text{ м} + 0.05 \text{ м}) - \frac{100 \frac{\text{Н}}{\text{м}} \cdot (0.05 \text{ м})^2}{0.18 \text{ кг}}}$

$v = \sqrt{2 \cdot 9.8 \cdot 0.45 - \frac{100 \cdot 0.0025}{0.18}} \frac{\text{м}}{\text{с}}$

$v = \sqrt{8.82 - \frac{0.25}{0.18}} \frac{\text{м}}{\text{с}}$

$v = \sqrt{8.82 - 1.388...} \frac{\text{м}}{\text{с}} \approx \sqrt{7.43} \frac{\text{м}}{\text{с}} \approx 2.73 \frac{\text{м}}{\text{с}}$

Ответ: скорость шарика в момент, когда он проходит положение равновесия, составляет примерно $2.73 \text{ м/с}$.