Номер 179, страница 27, часть 1 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 1. 10 класс. Механика. Динамика. Силы в механике. Гравитационные силы. Сила тяжести и вес. Невесомость - номер 179, страница 27.

Условие.

179. [155] Космический корабль движется вокруг Земли под действием силы тяготения по круговой орбите радиусом $R = 2R_З$. Определите, как после включения торможения изменится вес космонавта к тому моменту, когда скорость корабля, продолжающего двигаться по той же орбите, уменьшится на 20 %. Масса космонавта 70 кг.

Решение.

Дано:

Радиус орбиты: $R = 2R_З$

Масса космонавта: $m = 70$ кг

Уменьшение скорости: $k = 20 \% = 0.2$

Ускорение свободного падения на поверхности Земли: $g \approx 9.8$ м/с²

Найти:

Вес космонавта после торможения $P_2$.

Решение:

1. В начальный момент времени космический корабль движется по стабильной круговой орбите. В этом случае единственной силой, действующей на космонавта, является сила тяготения Земли. Эта сила сообщает космонавту центростремительное ускорение, равное ускорению корабля. Космонавт находится в состоянии невесомости, так как он не давит на опору и не растягивает подвес. Его начальный вес $P_1 = 0$.

2. Условие движения по стабильной круговой орбите (до торможения) заключается в том, что сила тяготения $F_g$ равна центростремительной силе $F_{ц1}$:

$F_g = F_{ц1} = m \frac{v_1^2}{R}$

где $v_1$ – начальная скорость корабля.

3. Силу тяготения, действующую на космонавта на высоте, равной радиусу Земли (т.е. на расстоянии $R = 2R_З$ от центра Земли), можно выразить через ускорение свободного падения $\text{g}$ на поверхности Земли. Сила тяготения на поверхности Земли равна $mg = G \frac{M_З m}{R_З^2}$. На орбите радиусом $R = 2R_З$ сила тяготения будет:

$F_g = G \frac{M_З m}{R^2} = G \frac{M_З m}{(2R_З)^2} = \frac{1}{4} G \frac{M_З m}{R_З^2} = \frac{mg}{4}$

4. После включения торможения скорость корабля уменьшается на 20%. Новая скорость $v_2$ составит:

$v_2 = v_1 - 0.2 v_1 = 0.8 v_1$

5. В момент, когда скорость стала равна $v_2$, корабль, по условию задачи, все еще находится на той же орбите радиусом $\text{R}$. На космонавта в этот момент действуют две силы в радиальном направлении: сила тяготения $F_g$ (направлена к центру Земли) и сила нормальной реакции опоры $\text{N}$ (направлена от центра Земли). Вес космонавта $P_2$ по модулю равен силе нормальной реакции опоры, $P_2 = N$.

Согласно второму закону Ньютона, равнодействующая этих сил сообщает космонавту центростремительное ускорение $a_{ц2} = \frac{v_2^2}{R}$:

$F_g - N = m a_{ц2} = m \frac{v_2^2}{R}$

Отсюда можем выразить вес космонавта $P_2 = N$:

$P_2 = F_g - m \frac{v_2^2}{R}$

6. Подставим в это выражение $v_2 = 0.8 v_1$:

$P_2 = F_g - m \frac{(0.8 v_1)^2}{R} = F_g - 0.64 \cdot m \frac{v_1^2}{R}$

7. Из пункта 2 мы знаем, что для начальной орбиты $m \frac{v_1^2}{R} = F_g$. Подставим это в полученное уравнение:

$P_2 = F_g - 0.64 F_g = (1 - 0.64) F_g = 0.36 F_g$

8. Теперь подставим выражение для $F_g$ из пункта 3:

$P_2 = 0.36 \cdot \frac{mg}{4} = 0.09 mg$

9. Рассчитаем числовое значение веса космонавта:

$P_2 = 0.09 \cdot 70 \text{ кг} \cdot 9.8 \text{ м/с}^2 = 6.3 \cdot 9.8 \text{ Н} = 61.74 \text{ Н}$

Таким образом, вес космонавта изменится от нуля до 61.74 Н.

Ответ: Вес космонавта, который до торможения был равен нулю (состояние невесомости), в указанный момент станет равен 61.74 Н.