Номер 181, страница 27, часть 1 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 1. 10 класс. Механика. Динамика. Силы упругости. Деформация и сила упругости. Закон Гука - номер 181, страница 27.

Условие.

181 [157] Тело массой 3 кг, прикреплённое к пружине жёсткостью $10^3 \text{ Н/м}$, поднимают с ускорением $\text{a}$, направленным вверх (рис. 31). При этом пружина дополнительно растягивается на 0,3 см. Определите ускорение $\text{a}$.

Рис. 31

Решение.

Дано:

$m = 3 \text{ кг}$

$k = 10^3 \text{ Н/м} = 1000 \text{ Н/м}$

$\Delta x = 0,3 \text{ см}$

Перевод в систему СИ:

$\Delta x = 0,3 \text{ см} = 0,3 \cdot 10^{-2} \text{ м} = 0,003 \text{ м}$

Найти:

$\text{a}$ — ?

Решение:

На тело, прикреплённое к пружине, действуют две силы: сила тяжести $\vec{F_g}$, направленная вертикально вниз, и сила упругости пружины $\vec{F_{упр}}$, направленная вертикально вверх. Тело движется с ускорением $\vec{a}$, направленным вертикально вверх.

Согласно второму закону Ньютона, равнодействующая всех сил, приложенных к телу, равна произведению массы тела на его ускорение:

$m\vec{a} = \vec{F_{упр}} + \vec{F_g}$

Спроецируем это уравнение на вертикальную ось OY, направленную вверх:

$ma = F_{упр} - F_g$

Сила тяжести определяется как $F_g = mg$.

Сила упругости пружины $F_{упр}$ возникает из-за её растяжения. Растяжение пружины состоит из двух частей: начального растяжения $x_0$, которое необходимо, чтобы уравновесить силу тяжести, и дополнительного растяжения $\Delta x$, которое создаёт силу для ускоренного движения.

В состоянии покоя (или равномерного движения) сила упругости уравновешивает силу тяжести: $kx_0 = mg$.

При движении с ускорением вверх общее растяжение пружины составляет $x = x_0 + \Delta x$. Тогда полная сила упругости равна:

$F_{упр} = kx = k(x_0 + \Delta x)$

Подставим выражения для сил в уравнение второго закона Ньютона:

$ma = k(x_0 + \Delta x) - mg$

Раскроем скобки:

$ma = kx_0 + k\Delta x - mg$

Так как из условия равновесия $kx_0 = mg$, заменим $kx_0$ на $mg$:

$ma = mg + k\Delta x - mg$

$ma = k\Delta x$

Отсюда выразим ускорение $\text{a}$:

$a = \frac{k\Delta x}{m}$

Подставим числовые значения:

$a = \frac{1000 \text{ Н/м} \cdot 0,003 \text{ м}}{3 \text{ кг}} = \frac{3 \text{ Н}}{3 \text{ кг}} = 1 \text{ м/с}^2$

Ответ: ускорение тела $a = 1 \text{ м/с}^2$.