Номер 175, страница 26, часть 1 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 1. 10 класс. Механика. Динамика. Силы в механике. Гравитационные силы. Сила тяжести и вес. Невесомость - номер 175, страница 26.

Условие.

175. [151] Лётчик массой 69 кг делает «мёртвую петлю» радиусом 250 м.

1) С какой скоростью должен лететь самолёт, чтобы в наивысшей точке подъёма лётчик испытал состояние невесомости?

2) На сколько при этой скорости увеличивается вес тела в нижней точке траектории? Примите $g = 10 \text{ м/с}^2$.

Решение.

Дано:

m = 69 кг

R = 250 м

g = 10 м/с²

Все данные представлены в системе СИ.

Найти:

1) v - ?

2) ΔP - ?

Решение:

1) С какой скоростью должен лететь самолёт, чтобы в наивысшей точке подъёма лётчик испытал состояние невесомости?

В наивысшей точке траектории на лётчика действуют две силы, направленные вертикально вниз к центру окружности: сила тяжести $mg$ и сила реакции опоры $\text{N}$. Согласно второму закону Ньютона, равнодействующая этих сил равна произведению массы на центростремительное ускорение $a_ц = \frac{v^2}{R}$.

Запишем уравнение в проекции на вертикальную ось, направленную к центру окружности (вниз):

$mg + N = m \frac{v^2}{R}$

Состояние невесомости означает, что лётчик не давит на кресло, и, соответственно, сила реакции опоры со стороны кресла равна нулю, то есть $N=0$.

При $N=0$ уравнение принимает вид:

$mg = m \frac{v^2}{R}$

Сократим массу $\text{m}$ в обеих частях уравнения:

$g = \frac{v^2}{R}$

Выразим из этого уравнения скорость $\text{v}$:

$v^2 = gR$

$v = \sqrt{gR}$

Подставим числовые значения:

$v = \sqrt{10 \frac{м}{с^2} \cdot 250 \text{ м}} = \sqrt{2500 \frac{м^2}{с^2}} = 50 \frac{м}{с}$

Ответ: $50 \text{ м/с}$.

2) На сколько при этой скорости увеличивается вес тела в нижней точке траектории?

В нижней точке траектории на лётчика действуют сила тяжести $mg$, направленная вниз, и сила реакции опоры $\text{N}$, направленная вверх к центру окружности. Равнодействующая этих сил сообщает лётчику центростремительное ускорение $a_ц = \frac{v^2}{R}$, которое также направлено вверх.

Запишем второй закон Ньютона в проекции на вертикальную ось, направленную вверх:

$N - mg = m \frac{v^2}{R}$

Вес лётчика в нижней точке траектории $P_{нижн}$ по модулю равен силе реакции опоры $\text{N}$:

$P_{нижн} = N = mg + m \frac{v^2}{R}$

Увеличение веса $\Delta P$ — это разница между весом в нижней точке и обычным весом лётчика в состоянии покоя ($P_{покоя} = mg$).

$\Delta P = P_{нижн} - P_{покоя} = (mg + m \frac{v^2}{R}) - mg = m \frac{v^2}{R}$

Используем скорость $v = 50 \text{ м/с}$, найденную в первом пункте.

$\Delta P = 69 \text{ кг} \cdot \frac{(50 \frac{м}{с})^2}{250 \text{ м}} = 69 \cdot \frac{2500}{250} \text{ Н} = 69 \cdot 10 \text{ Н} = 690 \text{ Н}$

Можно заметить, что из первого пункта $mg = m \frac{v^2}{R}$, значит, увеличение веса равно силе тяжести: $\Delta P = mg = 69 \text{ кг} \cdot 10 \frac{м}{с^2} = 690 \text{ Н}$.

Ответ: на $690 \text{ Н}$.