Номер 168, страница 26, часть 1 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 1. 10 класс. Механика. Динамика. Силы в механике. Гравитационные силы. Закон всемирного тяготения. Первая космическая скорость - номер 168, страница 26.

Условие.

168. [144] Вблизи некоторой планеты по круговой орбите вращается спутник с периодом обращения, равным 10 ч. Чему равна средняя плотность планеты? Считайте, что высота, на которой движется спутник, много меньше радиуса планеты.

Решение.

Дано:

Период обращения спутника, $T = 10 \text{ ч}$

Высота орбиты много меньше радиуса планеты, $h \ll R$

Гравитационная постоянная, $G \approx 6.67 \cdot 10^{-11} \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{кг}^2}$

Перевод в систему СИ:

$T = 10 \text{ ч} \cdot 3600 \frac{\text{с}}{\text{ч}} = 36000 \text{ с}$

Найти:

Среднюю плотность планеты, $\rho$

Решение:

Спутник движется по круговой орбите вблизи планеты. Единственная сила, действующая на него, — это сила гравитационного притяжения со стороны планеты. Эта сила сообщает спутнику центростремительное ускорение.

Согласно второму закону Ньютона:

$F_{\text{тяг}} = m a_c$

где $F_{\text{тяг}}$ — сила тяготения, $\text{m}$ — масса спутника, $a_c$ — его центростремительное ускорение.

Сила тяготения определяется законом всемирного тяготения:

$F_{\text{тяг}} = G \frac{M m}{r^2}$

где $\text{G}$ — гравитационная постоянная, $\text{M}$ — масса планеты, $\text{r}$ — радиус орбиты спутника.

Центростремительное ускорение связано с периодом обращения $\text{T}$ следующим соотношением:

$a_c = \frac{v^2}{r} = \frac{(2\pi r / T)^2}{r} = \frac{4\pi^2 r}{T^2}$

Приравняем выражения для силы:

$G \frac{M m}{r^2} = m \frac{4\pi^2 r}{T^2}$

Сократив массу спутника $\text{m}$ и выразив массу планеты $\text{M}$, получим обобщенный третий закон Кеплера:

$G M = \frac{4\pi^2 r^3}{T^2}$

По условию задачи, высота орбиты спутника $\text{h}$ много меньше радиуса планеты $\text{R}$. Радиус орбиты $r = R + h$. Следовательно, мы можем пренебречь высотой $\text{h}$ и считать радиус орбиты равным радиусу планеты: $r \approx R$.

$G M \approx \frac{4\pi^2 R^3}{T^2}$

Массу планеты $\text{M}$ можно выразить через её среднюю плотность $\rho$ и объём $\text{V}$. Предполагая, что планета имеет форму шара, её объём равен $V = \frac{4}{3}\pi R^3$. Тогда масса:

$M = \rh°V = \rh°\frac{4}{3}\pi R^3$

Подставим это выражение для массы в предыдущее уравнение:

$G \left(\rh°\frac{4}{3}\pi R^3\right) = \frac{4\pi^2 R^3}{T^2}$

Радиус планеты в кубе $R^3$ сокращается. Также сокращаются множители $\text{4}$ и $\pi$.

$G \frac{\rho}{3} = \frac{\pi}{T^2}$

Отсюда выражаем искомую среднюю плотность планеты $\rho$:

$\rh°= \frac{3\pi}{G T^2}$

Подставим числовые значения в систему СИ:

$\rh°= \frac{3 \cdot 3.14159}{6.67 \cdot 10^{-11} \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{кг}^2} \cdot (36000 \text{ с})^2}$

$\rh°= \frac{9.42477}{6.67 \cdot 10^{-11} \cdot 1.296 \cdot 10^9 \frac{\text{м}^3}{\text{кг}}} \approx \frac{9.42477}{0.08644} \frac{\text{кг}}{\text{м}^3} \approx 109 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}$

Ответ: средняя плотность планеты равна приблизительно $109 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}$.