Номер 171, страница 26, часть 1 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 1. 10 класс. Механика. Динамика. Силы в механике. Гравитационные силы. Закон всемирного тяготения. Первая космическая скорость - номер 171, страница 26.

Условие.

171. [147] Отношение радиусов Земли и Луны $\frac{R_3}{R_{\text{Л}}} = 3,7$, отношение их масс $\frac{M_{\text{З}}}{M_{\text{Л}}} = 81$. Определите первую космическую скорость спутника Луны, зная, что первая космическая скорость спутника Земли $v_1 = 8 \text{ км/с}$.

Решение.

Дано:

Отношение радиуса Земли ($R_З$) к радиусу Луны ($R_Л$): $\frac{R_З}{R_Л} = 3,7$

Отношение массы Земли ($M_З$) к массе Луны ($M_Л$): $\frac{M_З}{M_Л} = 81$

Первая космическая скорость для спутника Земли: $v_З = 8$ км/с

В системе СИ:

$v_З = 8 \cdot 10^3$ м/с

Найти:

Первую космическую скорость для спутника Луны $v_Л$.

Решение:

Первая космическая скорость (орбитальная скорость на небольшой высоте над поверхностью) для небесного тела вычисляется по формуле:

$v = \sqrt{\frac{GM}{R}}$

где $\text{G}$ — гравитационная постоянная, $\text{M}$ — масса небесного тела, $\text{R}$ — его радиус.

Запишем эту формулу для Земли (с индексом З) и для Луны (с индексом Л):

$v_З = \sqrt{\frac{GM_З}{R_З}}$

$v_Л = \sqrt{\frac{GM_Л}{R_Л}}$

Чтобы найти $v_Л$, не прибегая к значениям $\text{G}$, $\text{M}$ и $\text{R}$, составим отношение скоростей:

$\frac{v_Л}{v_З} = \frac{\sqrt{\frac{GM_Л}{R_Л}}}{\sqrt{\frac{GM_З}{R_З}}}$

Упростим выражение:

$\frac{v_Л}{v_З} = \sqrt{\frac{GM_Л}{R_Л} \cdot \frac{R_З}{GM_З}} = \sqrt{\frac{M_Л}{M_З} \cdot \frac{R_З}{R_Л}}$

Из условия задачи нам даны отношения масс и радиусов. Подставим их в полученную формулу. Обратим внимание, что нам дано отношение $\frac{M_З}{M_Л}$, а в формуле используется обратное отношение $\frac{M_Л}{M_З}$.

$\frac{M_Л}{M_З} = \frac{1}{81}$

$\frac{R_З}{R_Л} = 3,7$

Подставляем числовые значения:

$\frac{v_Л}{v_З} = \sqrt{\frac{1}{81} \cdot 3,7} = \frac{\sqrt{3,7}}{\sqrt{81}} = \frac{\sqrt{3,7}}{9}$

Теперь выразим и рассчитаем первую космическую скорость для Луны $v_Л$:

$v_Л = v_З \cdot \frac{\sqrt{3,7}}{9}$

$v_Л = 8 \text{ км/с} \cdot \frac{\sqrt{3,7}}{9} \approx 8 \text{ км/с} \cdot \frac{1,9235}{9} \approx 8 \text{ км/с} \cdot 0,2137 \approx 1,7098 \text{ км/с}$

Округлим результат до двух значащих цифр, так как данные в условии имеют такую точность.

$v_Л \approx 1,7 \text{ км/с}$

Ответ: первая космическая скорость спутника Луны составляет примерно $1,7$ км/с.