Номер 166, страница 25, часть 1 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 1. 10 класс. Механика. Динамика. Силы в механике. Гравитационные силы. Закон всемирного тяготения. Первая космическая скорость - номер 166, страница 25.

Условие.

166. [142] Искусственный спутник движется по круговой орбите вокруг Земли со скоростью $v_1$. Как должна измениться его скорость, чтобы он перешёл на орбиту, радиус которой вдвое больше исходной?

Решение.

Дано:

$v_1$ – начальная скорость спутника

$r_1$ – начальный радиус орбиты

$r_2 = 2r_1$ – конечный радиус орбиты

Найти:

Как должна измениться скорость спутника (найти отношение $v_2/v_1$).

Решение:

Движение спутника по круговой орбите происходит под действием силы всемирного тяготения, которая является центростремительной силой. Согласно второму закону Ньютона, мы можем приравнять силу тяготения и произведение массы на центростремительное ускорение:

$F_{тяг} = ma_c$

Сила тяготения определяется законом всемирного тяготения:

$F_{тяг} = G \frac{Mm}{r^2}$

где $\text{G}$ – гравитационная постоянная, $\text{M}$ – масса Земли, $\text{m}$ – масса спутника, $\text{r}$ – радиус орбиты.

Центростремительное ускорение спутника, движущегося со скоростью $\text{v}$ по окружности радиусом $\text{r}$, равно:

$a_c = \frac{v^2}{r}$

Подставим выражения для силы и ускорения в исходное уравнение:

$G \frac{Mm}{r^2} = m \frac{v^2}{r}$

Сократим массу спутника $\text{m}$ и один из радиусов $\text{r}$ в знаменателе. Из этого уравнения выразим скорость $\text{v}$ спутника на круговой орбите:

$v^2 = \frac{GM}{r}$

$v = \sqrt{\frac{GM}{r}}$

Теперь применим эту формулу для начальной и конечной орбит.

Начальная скорость на орбите радиусом $r_1$:

$v_1 = \sqrt{\frac{GM}{r_1}}$

Конечная скорость на орбите радиусом $r_2$:

$v_2 = \sqrt{\frac{GM}{r_2}}$

По условию задачи $r_2 = 2r_1$. Подставим это соотношение в формулу для $v_2$:

$v_2 = \sqrt{\frac{GM}{2r_1}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \sqrt{\frac{GM}{r_1}}$

Заметим, что выражение $\sqrt{\frac{GM}{r_1}}$ равно начальной скорости $v_1$. Следовательно, мы можем записать:

$v_2 = \frac{v_1}{\sqrt{2}}$

Таким образом, для того чтобы спутник находился на круговой орбите с радиусом вдвое больше исходного, его скорость должна уменьшиться в $\sqrt{2}$ раз (приблизительно в 1,41 раза).

Ответ:

Скорость спутника должна уменьшиться в $\sqrt{2}$ раз.