Номер 165, страница 25, часть 1 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 1. 10 класс. Механика. Динамика. Силы в механике. Гравитационные силы. Закон всемирного тяготения. Первая космическая скорость - номер 165, страница 25.

Условие.

165. [141] На какой высоте над поверхностью Земли сила притяжения к ней тел уменьшается в 2 раза?

Решение.

Дано:

$F_2 = \frac{F_1}{2}$

$R_З \approx 6400 \text{ км}$ (средний радиус Земли)

В системе СИ:
$R_З \approx 6400 \cdot 10^3 \text{ м} = 6.4 \cdot 10^6 \text{ м}$

Найти:

$\text{h}$ — высота над поверхностью Земли.

Решение:

Сила гравитационного притяжения тела к Земле определяется законом всемирного тяготения: $F = G \frac{M_З m}{r^2}$, где $\text{G}$ — гравитационная постоянная, $M_З$ — масса Земли, $\text{m}$ — масса тела, а $\text{r}$ — расстояние от центра Земли до тела.

На поверхности Земли расстояние $\text{r}$ равно радиусу Земли $R_З$. Сила притяжения $F_1$ в этом случае равна: $F_1 = G \frac{M_З m}{R_З^2}$

На высоте $\text{h}$ над поверхностью Земли расстояние от центра Земли до тела будет $r = R_З + h$. Сила притяжения $F_2$ на этой высоте равна: $F_2 = G \frac{M_З m}{(R_З + h)^2}$

Согласно условию задачи, сила притяжения на высоте $\text{h}$ в 2 раза меньше силы притяжения на поверхности: $F_2 = \frac{F_1}{2}$

Подставим выражения для сил $F_1$ и $F_2$ в это соотношение: $G \frac{M_З m}{(R_З + h)^2} = \frac{1}{2} \cdot G \frac{M_З m}{R_З^2}$

Сократим общие множители $G, M_З, m$ в обеих частях уравнения: $\frac{1}{(R_З + h)^2} = \frac{1}{2R_З^2}$

Отсюда следует, что: $(R_З + h)^2 = 2R_З^2$

Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения (рассматриваем только положительные значения, так как расстояние не может быть отрицательным): $R_З + h = \sqrt{2} R_З$

Теперь выразим искомую высоту $\text{h}$: $h = \sqrt{2} R_З - R_З$ $h = R_З (\sqrt{2} - 1)$

Подставим числовые значения. Используя $R_З \approx 6400 \text{ км}$ и $\sqrt{2} \approx 1.414$: $h \approx 6400 \text{ км} \cdot (1.414 - 1)$ $h \approx 6400 \text{ км} \cdot 0.414$ $h \approx 2649.6 \text{ км}$

Округлим результат до 2650 км.

Ответ: сила притяжения к Земле уменьшается в 2 раза на высоте $h = R_З (\sqrt{2} - 1) \approx 2650 \text{ км}$ над ее поверхностью.