Номер 161, страница 25, часть 1 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 1. 10 класс. Механика. Динамика. Законы механики Ньютона. Геоцентрическая система отсчёта - номер 161, страница 25.

Условие.

161. H Во сколько раз центростремительное ускорение тела, находящегося на экваторе Земли, отличается от ускорения движения Земли по орбите вокруг Солнца?

Решение.

Дано:

Радиус Земли на экваторе $R_1 = 6378 \text{ км}$

Период вращения Земли вокруг оси $T_1 = 24 \text{ ч}$

Средний радиус орбиты Земли $R_2 = 1,496 \cdot 10^8 \text{ км}$

Период обращения Земли вокруг Солнца $T_2 = 365,25 \text{ суток}$

Перевод в систему СИ:

$R_1 = 6378 \text{ км} = 6,378 \cdot 10^6 \text{ м}$

$T_1 = 24 \text{ ч} = 24 \cdot 3600 \text{ с} = 86400 \text{ с}$

$R_2 = 1,496 \cdot 10^8 \text{ км} = 1,496 \cdot 10^{11} \text{ м}$

$T_2 = 365,25 \text{ суток} = 365,25 \cdot 24 \cdot 3600 \text{ с} \approx 3,156 \cdot 10^7 \text{ с}$

Найти:

Отношение центростремительных ускорений $\frac{a_1}{a_2}$.

Решение:

Центростремительное ускорение тела, движущегося по окружности радиусом $\text{R}$ с периодом $\text{T}$, вычисляется по формуле:

$a = \omega^2 R = \left(\frac{2\pi}{T}\right)^2 R = \frac{4\pi^2 R}{T^2}$

1. Центростремительное ускорение тела на экваторе Земли ($a_1$) обусловлено ее суточным вращением. В этом случае $R = R_1$ и $T = T_1$.

$a_1 = \frac{4\pi^2 R_1}{T_1^2}$

2. Центростремительное ускорение Земли при движении по орбите вокруг Солнца ($a_2$). В этом случае $R = R_2$ и $T = T_2$.

$a_2 = \frac{4\pi^2 R_2}{T_2^2}$

3. Чтобы найти, во сколько раз ускорение $a_1$ отличается от $a_2$, найдем их отношение:

$\frac{a_1}{a_2} = \frac{4\pi^2 R_1 / T_1^2}{4\pi^2 R_2 / T_2^2} = \frac{R_1}{R_2} \cdot \left(\frac{T_2}{T_1}\right)^2$

Подставим числовые значения из системы СИ:

$\frac{a_1}{a_2} = \frac{6,378 \cdot 10^6 \text{ м}}{1,496 \cdot 10^{11} \text{ м}} \cdot \left(\frac{3,156 \cdot 10^7 \text{ с}}{86400 \text{ с}}\right)^2$

Вычислим отношение периодов:

$\frac{T_2}{T_1} = \frac{365,25 \text{ суток} \cdot 24 \text{ ч/сутки}}{24 \text{ ч}} = 365,25$

Теперь подставим это в формулу для отношения ускорений:

$\frac{a_1}{a_2} \approx \frac{6,378 \cdot 10^6}{1,496 \cdot 10^{11}} \cdot (365,25)^2 \approx (4,263 \cdot 10^{-5}) \cdot 133408 \approx 5,69$

Таким образом, центростремительное ускорение тела на экваторе больше, чем ускорение Земли на орбите.

Ответ: центростремительное ускорение тела, находящегося на экваторе Земли, примерно в 5,7 раз больше, чем ускорение движения Земли по орбите вокруг Солнца.