Номер 156, страница 24, часть 1 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 1. 10 класс. Механика. Динамика. Законы механики Ньютона. Второй закон Ньютона. Третий закон Ньютона. Масса и сила - номер 156, страница 24.

Условие.

156. [137] Система из двух тел массами $m_1$ и $m_2$, связанных нитью, вращается с угловой скоростью $\omega$ (рис. 29). Часть нити, на которой висит груз массой $m_1$, остаётся строго вертикальной. Определите длину части нити, на которой закреплён вращающийся груз массой $m_2$.

Рис. 29

Решение.

Дано:

Масса первого тела: $m_1$

Масса второго тела: $m_2$

Угловая скорость вращения: $\omega$

Ускорение свободного падения: $\text{g}$

Найти:

$l_2$ - ?

Решение:

Рассмотрим систему сил, действующих на каждое тело. Согласно условию, тела связаны одной нитью. Предположим, что в точке подвеса нить проходит через идеальный блок или frictionless-кольцо, что обеспечивает одинаковую силу натяжения $\text{T}$ по всей длине нити.

1. Для тела массой $m_1$, которое висит вертикально и находится в состоянии покоя, запишем условие равновесия (первый закон Ньютона). На него действует сила тяжести $m_1g$ (вниз) и сила натяжения нити $\text{T}$ (вверх). В проекции на вертикальную ось:

$T - m_1g = 0$

Отсюда получаем выражение для силы натяжения нити:

$T = m_1g$

2. Тело массой $m_2$ совершает равномерное движение по окружности в горизонтальной плоскости. На него действуют сила тяжести $m_2g$ (вниз) и сила натяжения нити $\text{T}$ (вдоль нити к точке подвеса). Обозначим угол отклонения нити от вертикали как $\alpha$.

Запишем второй закон Ньютона для тела $m_2$ в проекциях на вертикальную и горизонтальную оси.

Проекция на вертикальную ось (ось Y):

Вертикальная составляющая силы натяжения $T \cos\alpha$ уравновешивает силу тяжести $m_2g$, так как вертикального движения нет.

$T \cos\alpha - m_2g = 0 \implies T \cos\alpha = m_2g$

Проекция на горизонтальную ось (ось X, направлена к центру окружности):

Горизонтальная составляющая силы натяжения $T \sin\alpha$ является центростремительной силой, которая обеспечивает движение тела по окружности. Она равна произведению массы тела на центростремительное ускорение $a_c$.

$T \sin\alpha = m_2 a_c$

Центростремительное ускорение $a_c$ выражается через угловую скорость $\omega$ и радиус вращения $\text{r}$ как $a_c = \omega^2r$. Радиус вращения $\text{r}$ из геометрических соображений равен $r = l_2 \sin\alpha$.

Подставим выражения для $a_c$ и $\text{r}$ в уравнение для горизонтальной проекции:

$T \sin\alpha = m_2 \omega^2 (l_2 \sin\alpha)$

Поскольку тело вращается, угол $\alpha \neq 0$, а значит $\sin\alpha \neq 0$. Мы можем сократить обе части уравнения на $\sin\alpha$:

$T = m_2 \omega^2 l_2$

Теперь у нас есть два независимых выражения для силы натяжения нити $\text{T}$:

1) $T = m_1g$ (из условия равновесия тела $m_1$)

2) $T = m_2 \omega^2 l_2$ (из динамики вращения тела $m_2$)

Приравнивая правые части этих выражений, получаем:

$m_1g = m_2 \omega^2 l_2$

Из этого уравнения выразим искомую длину $l_2$:

$l_2 = \frac{m_1g}{m_2\omega^2}$

Ответ: Длина части нити, на которой закреплен вращающийся груз, равна $l_2 = \frac{m_1g}{m_2\omega^2}$.