Номер 152, страница 24, часть 1 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 1. 10 класс. Механика. Динамика. Законы механики Ньютона. Второй закон Ньютона. Третий закон Ньютона. Масса и сила - номер 152, страница 24.

Условие.

152. [133] На подвижном диске укрепили математический маятник так, как показано на рисунке 27. Длина нити $l = 0,5$ м, расстояние $r_0 = 10$ см. При какой угловой скорости вращения диска нить маятника отклонится от вертикали на угол $45^{\circ}$?

Рис. 27

Решение.

Дано:

$l = 0,5$ м

$r_0 = 10$ см

$\alpha = 45^\circ$

-----

Перевод в СИ:

$r_0 = 0,1$ м

Найти:

$\omega$ - ?

Решение:

На шарик маятника, который вращается вместе с диском, действуют две силы: сила тяжести $m\vec{g}$, направленная вертикально вниз, и сила натяжения нити $\vec{T}$, направленная вдоль нити к точке подвеса. Равнодействующая этих сил сообщает шарику центростремительное ускорение $a_ц$, которое направлено горизонтально к оси вращения.

Запишем второй закон Ньютона в векторной форме:

$m\vec{a}_ц = \vec{T} + m\vec{g}$

Выберем систему координат: ось OY направим вертикально вверх, а ось OX – горизонтально к оси вращения. Спроецируем векторное уравнение на эти оси:

Проекция на ось OX: $ma_ц = T \sin\alpha$ (1)

Проекция на ось OY: $0 = T \cos\alpha - mg$ (2)

Из уравнения (2) выразим силу натяжения нити $\text{T}$:

$T \cos\alpha = mg \implies T = \frac{mg}{\cos\alpha}$

Подставим это выражение для $\text{T}$ в уравнение (1):

$ma_ц = \left( \frac{mg}{\cos\alpha} \right) \sin\alpha$

Сократив массу $\text{m}$, получим выражение для центростремительного ускорения:

$a_ц = g \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = g \tan\alpha$

Центростремительное ускорение также выражается через угловую скорость $\omega$ и радиус вращения $\text{R}$:

$a_ц = \omega^2 R$

Из геометрии установки (см. рисунок) радиус вращения $\text{R}$ шарика равен сумме расстояния $r_0$ и горизонтальной проекции длины нити $l \sin\alpha$:

$R = r_0 + l \sin\alpha$

Теперь приравняем два полученных выражения для центростремительного ускорения:

$\omega^2 R = g \tan\alpha$

$\omega^2 (r_0 + l \sin\alpha) = g \tan\alpha$

Из этого уравнения выразим искомую угловую скорость $\omega$:

$\omega = \sqrt{\frac{g \tan\alpha}{r_0 + l \sin\alpha}}$

Подставим числовые значения в полученную формулу. Примем ускорение свободного падения $g \approx 9,8 \text{ м/с}^2$.

$\tan 45^\circ = 1$

$\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0,707$

$\omega = \sqrt{\frac{9,8 \cdot 1}{0,1 + 0,5 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}} = \sqrt{\frac{9,8}{0,1 + 0,25\sqrt{2}}} \approx \sqrt{\frac{9,8}{0,1 + 0,25 \cdot 1,414}} = \sqrt{\frac{9,8}{0,1 + 0,3535}} = \sqrt{\frac{9,8}{0,4535}} \approx \sqrt{21,61} \approx 4,65 \text{ рад/с}$

Ответ: угловая скорость вращения диска должна быть примерно $4,65$ рад/с.