Номер 148, страница 23, часть 1 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 1. 10 класс. Механика. Динамика. Законы механики Ньютона. Второй закон Ньютона. Третий закон Ньютона. Масса и сила - номер 148, страница 23.

Условие.

148. [129] Через блок перекинута нерастяжимая нить, к концам которой привязаны два груза массами 2 и 4 кг (рис. 24). Под грузом 2 расположена подставка, удерживающая грузы в равновесии. Разность высот, на которых находятся грузы, 1 м. Подставку осторожно убирают, и грузы начинают двигаться. Определите скорости грузов в тот момент, когда они окажутся на одной высоте. Массы блока и нити не учитывайте. Примите $g = 9,8 \text{ м/с}^2$.

Рис. 24

Решение.

Дано:

Масса первого груза $m_1 = 2$ кг

Масса второго груза $m_2 = 4$ кг

Начальная разность высот $\Delta h = 1$ м

Ускорение свободного падения $g = 9.8 \text{ м/с}^2$

Начальная скорость грузов $v_0 = 0$

Все данные представлены в системе СИ.

Найти:

$\text{v}$ — скорость грузов в момент, когда они окажутся на одной высоте.

Решение:

Так как в условии сказано, что под грузом 2 расположена подставка, это означает, что без нее груз 2 двигался бы вниз. Следовательно, масса груза 2 больше массы груза 1: $m_2 = 4$ кг, а $m_1 = 2$ кг.

Для решения задачи применим закон сохранения механической энергии, так как система является замкнутой (массой блока и нити, а также силами трения пренебрегаем).

Выберем за нулевой уровень потенциальной энергии начальное положение груза $m_1$. Тогда в начальный момент времени груз $m_1$ находится на высоте $h_1 = 0$, а груз $m_2$ — на высоте $h_2 = \Delta h$. Поскольку система покоится, начальная кинетическая энергия равна нулю. Полная начальная механическая энергия системы ($E_0$) равна:

$E_0 = m_1 g h_1 + m_2 g h_2 = 0 + m_2 g \Delta h = m_2 g \Delta h$.

Когда грузы окажутся на одной высоте, груз $m_1$ поднимется на расстояние $\text{s}$, а груз $m_2$ опустится на такое же расстояние $\text{s}$. Их конечные высоты станут равны:

$h'_1 = h_1 + s = s$

$h'_2 = h_2 - s = \Delta h - s$

По условию $h'_1 = h'_2$, следовательно, $s = \Delta h - s$, откуда $2s = \Delta h$ и $s = \frac{\Delta h}{2}$.

Конечная высота обоих грузов будет $h' = \frac{\Delta h}{2}$. В этот момент оба груза будут двигаться с одинаковой по модулю скоростью $\text{v}$. Конечная полная механическая энергия системы ($E_k$) будет равна сумме их кинетических и потенциальных энергий:

$E_k = \frac{m_1 v^2}{2} + \frac{m_2 v^2}{2} + m_1 g h' + m_2 g h' = \frac{(m_1 + m_2)v^2}{2} + (m_1 + m_2)g\frac{\Delta h}{2}$.

Согласно закону сохранения энергии $E_0 = E_k$:

$m_2 g \Delta h = \frac{(m_1 + m_2)v^2}{2} + (m_1 + m_2)g\frac{\Delta h}{2}$.

Выразим из этого уравнения $v^2$:

$\frac{(m_1 + m_2)v^2}{2} = m_2 g \Delta h - (m_1 + m_2)g\frac{\Delta h}{2}$

$\frac{(m_1 + m_2)v^2}{2} = g \Delta h (m_2 - \frac{m_1+m_2}{2}) = g \Delta h (\frac{2m_2 - m_1 - m_2}{2}) = g \Delta h \frac{m_2 - m_1}{2}$.

$(m_1 + m_2)v^2 = g \Delta h (m_2 - m_1)$

$v^2 = \frac{g \Delta h (m_2 - m_1)}{m_1 + m_2}$.

Найдем искомую скорость:

$v = \sqrt{\frac{g \Delta h (m_2 - m_1)}{m_1 + m_2}}$.

Подставим числовые значения:

$v = \sqrt{\frac{9.8 \text{ м/с}^2 \cdot 1 \text{ м} \cdot (4 \text{ кг} - 2 \text{ кг})}{2 \text{ кг} + 4 \text{ кг}}} = \sqrt{\frac{9.8 \cdot 1 \cdot 2}{6}} = \sqrt{\frac{19.6}{6}} \approx \sqrt{3.267} \approx 1.81 \text{ м/с}$.

Ответ: $1.81 \text{ м/с}$.