Номер 151, страница 24, часть 1 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 1. 10 класс. Механика. Динамика. Законы механики Ньютона. Второй закон Ньютона. Третий закон Ньютона. Масса и сила - номер 151, страница 24.

Условие.

151. [132] Определите радиус выпуклого моста, если при движении автомобиля со скоростью 72 км/ч в верхней точке сила давления на мост в 2 раза меньше силы тяжести автомобиля.

Решение.

Дано:

$v = 72$ км/ч

$P = \frac{F_{тяж}}{2}$

Примем $g \approx 10$ м/с²

Переведем скорость в систему СИ:

$v = 72 \frac{\text{км}}{\text{ч}} = 72 \cdot \frac{1000 \text{ м}}{3600 \text{ с}} = 20 \text{ м/с}$

Найти:

$\text{R}$

Решение:

Когда автомобиль движется по выпуклому мосту, в верхней точке траектории на него действуют две силы по вертикали: сила тяжести $F_{тяж} = mg$, направленная вертикально вниз, и сила нормальной реакции опоры $\text{N}$, направленная вертикально вверх. Равнодействующая этих сил сообщает автомобилю центростремительное ускорение $a_c$, направленное к центру кривизны моста, то есть вертикально вниз.

Запишем второй закон Ньютона для автомобиля в проекции на вертикальную ось, направленную вниз:

$mg - N = ma_c$

Центростремительное ускорение определяется по формуле:

$a_c = \frac{v^2}{R}$

где $\text{v}$ - скорость автомобиля, а $\text{R}$ - радиус кривизны моста.

Подставим выражение для ускорения в уравнение второго закона Ньютона:

$mg - N = m\frac{v^2}{R}$

Согласно третьему закону Ньютона, сила давления $\text{P}$, которую автомобиль оказывает на мост, равна по модулю силе нормальной реакции опоры $\text{N}$, с которой мост действует на автомобиль ($P = N$).

По условию задачи, сила давления на мост в 2 раза меньше силы тяжести автомобиля:

$P = \frac{F_{тяж}}{2} = \frac{mg}{2}$

Следовательно, $N = \frac{mg}{2}$. Подставим это выражение в уравнение движения:

$mg - \frac{mg}{2} = m\frac{v^2}{R}$

Упростим левую часть:

$\frac{mg}{2} = m\frac{v^2}{R}$

Сократим массу $\text{m}$ с обеих сторон уравнения:

$\frac{g}{2} = \frac{v^2}{R}$

Теперь выразим радиус $\text{R}$:

$R = \frac{2v^2}{g}$

Подставим числовые значения в полученную формулу:

$R = \frac{2 \cdot (20 \text{ м/с})^2}{10 \text{ м/с}^2} = \frac{2 \cdot 400 \text{ м}^2/\text{с}^2}{10 \text{ м/с}^2} = \frac{800}{10} \text{ м} = 80 \text{ м}$

Ответ: радиус выпуклого моста равен 80 м.