Номер 154, страница 24, часть 1 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 1. 10 класс. Механика. Динамика. Законы механики Ньютона. Второй закон Ньютона. Третий закон Ньютона. Масса и сила - номер 154, страница 24.

Условие.

154. [135] С какой угловой скоростью внутри сферы радиусом $R = 20$ см должен вращаться небольшой шарик, чтобы он всё время находился на высоте $h = 5$ см относительно нижней точки сферы (рис. 28)? Трение не учитывайте.

Рис. 28

Решение.

Дано:

Радиус сферы $R = 20$ см
Высота подъема шарика $h = 5$ см

$R = 0.2$ м
$h = 0.05$ м

Найти:

$\omega$ - ?

Решение:

Когда шарик вращается внутри сферы, на него действуют две силы: сила тяжести $m\vec{g}$, направленная вертикально вниз, и сила нормальной реакции опоры $\vec{N}$, направленная перпендикулярно поверхности сферы, то есть по радиусу к её центру.

Равнодействующая этих сил сообщает шарику центростремительное ускорение $\vec{a}_ц$, необходимое для движения по окружности. Эта равнодействующая сила направлена горизонтально к центру окружности, по которой движется шарик.

Запишем второй закон Ньютона в векторной форме: $m\vec{g} + \vec{N} = m\vec{a}_ц$.

Для решения задачи введем систему координат. Ось OY направим вертикально вверх, а ось OX — горизонтально к центру окружности вращения. Пусть угол между радиусом сферы, проведенным к шарику, и вертикалью равен $\alpha$. Сила $\vec{N}$ также будет направлена под углом $\alpha$ к вертикали.

Спроецируем уравнение второго закона Ньютона на оси координат:
Ось OY: $N \cos\alpha - mg = 0$ (так как в вертикальном направлении движения нет).
Отсюда получаем: $N \cos\alpha = mg$ (1)
Ось OX: $N \sin\alpha = ma_ц$.
Центростремительное ускорение $a_ц$ связано с угловой скоростью $\omega$ и радиусом вращения $\text{r}$ соотношением $a_ц = \omega^2 r$.
Таким образом: $N \sin\alpha = m \omega^2 r$ (2)

Чтобы найти $\omega$, разделим уравнение (2) на уравнение (1):
$\frac{N \sin\alpha}{N \cos\alpha} = \frac{m \omega^2 r}{mg}$
$\tan\alpha = \frac{\omega^2 r}{g}$

Теперь определим радиус вращения $\text{r}$ и $\tan\alpha$ из геометрических соображений. Из рисунка видно, что радиус сферы $\text{R}$, радиус вращения $\text{r}$ и вертикальное расстояние от центра сферы до плоскости вращения $(R-h)$ образуют прямоугольный треугольник.
В этом треугольнике:
$\cos\alpha = \frac{R-h}{R}$
$r = R \sin\alpha$
Следовательно, $\tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \frac{r/R}{(R-h)/R} = \frac{r}{R-h}$.

Подставим полученное выражение для $\tan\alpha$ в уравнение динамики:
$\frac{r}{R-h} = \frac{\omega^2 r}{g}$

Поскольку шарик вращается по окружности, её радиус $\text{r}$ не равен нулю, и мы можем сократить на него обе части уравнения:
$\frac{1}{R-h} = \frac{\omega^2}{g}$
Выразим отсюда искомую угловую скорость:
$\omega^2 = \frac{g}{R-h} \implies \omega = \sqrt{\frac{g}{R-h}}$

Теперь выполним вычисления, подставив числовые значения в системе СИ. Примем ускорение свободного падения $g \approx 9.8$ м/с$^2$.
$\omega = \sqrt{\frac{9.8 \text{ м/с}^2}{0.2 \text{ м} - 0.05 \text{ м}}} = \sqrt{\frac{9.8}{0.15}} \text{ рад/с} \approx \sqrt{65.333...} \text{ рад/с} \approx 8.08 \text{ рад/с}$

Ответ: угловая скорость вращения шарика должна быть $\omega \approx 8.08$ рад/с.